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SECONDE PARTIE. — SECTION XII.

pour $d\Delta$ sa valeur complète

$\left({\frac {\partial \Delta }{\partial t}}+p{\frac {\partial \Delta }{\partial x}}+q{\frac {\partial \Delta }{\partial y}}+r{\frac {\partial \Delta }{\partial z}}\right)dt,$

et l’on aura, en divisant par $dt,$ cette transformée

${\frac {1}{\Delta }}{\frac {\partial \Delta }{\partial t}}+{\frac {p}{\Delta }}{\frac {\partial \Delta }{\partial x}}+{\frac {q}{\Delta }}{\frac {\partial \Delta }{\partial y}}+{\frac {r}{\Delta }}{\frac {\partial \Delta }{\partial z}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}+{\frac {\partial q}{\partial y}}+{\frac {\partial r}{\partial z}}=0,$

laquelle, étant multipliée par $\Delta ,$ se réduit à cette forme plus simple

(g)

${\frac {\partial \Delta }{\partial t}}+{\frac {\partial (\Delta p)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\Delta q)}{\partial y}}+{\frac {\partial (\Delta r)}{\partial z}}=0.$

À l’égard de la condition relative au mouvement des particules à la surface, elle sera représentée également par l’équation (I) de l’article 12 de la Section précédente, savoir

(i)

${\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial t}}+p{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial x}}+q{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial y}}+r{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial z}}=0,$

en supposant que $\mathrm {A} =0$ soit l’équation de la surface.

5. Il est aisé de satisfaire à l’équation (g), en supposant

$\Delta p={\frac {\partial \alpha }{\partial t}},\quad \Delta q={\frac {\partial \beta }{\partial t}},\quad \Delta r={\frac {\partial \gamma }{\partial t}},$

$\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ étant des fonctions de $x,\,y,\,z,\,t.$ Par ces substitutions, l’équation dont il s’agit deviendra

${\frac {\partial \Delta }{\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}\beta }{\partial t\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}\gamma }{\partial t\partial z}}=0,$

laquelle est intégrable relativement à $t,$ et dont l’intégrale donnera

$\Delta =\mathrm {F} -{\frac {\partial \alpha }{\partial x}}-{\frac {\partial \beta }{\partial y}}-{\frac {\partial \gamma }{\partial z}},$