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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

si l’on suppose que $\mathrm {H}$ soit alors la valeur de $\Delta ,$ on aura

$\mathrm {H} =\operatorname {fonct.} (a,b,c),$

et l’équation deviendra $\theta \Delta =\mathrm {H}$ ou bien

$\theta ={\frac {\mathrm {H} }{\Delta }},$

c’est-à-dire, en substituant pour $\theta$ sa valeur

(e)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial c}}-{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial c}}+{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial a}}\\-&{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial a}}+{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial b}}-{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial b}}={\frac {\mathrm {H} }{\Delta }},\end{aligned}}\right.$

transformée analogue à la transformée (E) de l’article cité.

Enfin il faudra appliquer aussi à ces équations ce qu’on a dit, dans l’article 8 de la même Section, relativement à la surface du fluide.

4. Mais si l’on veut, ce qui est beaucoup plus simple, avoir des équations entre les vitesses $p,\,q,\,r$ des particules suivant les directions des coordonnées $x,\,y,\,z,$ en regardant ces vitesses, ainsi que les quantités $\Delta$ et $\varepsilon ,$ comme des fonctions de $x,\,y,\,z,\,t,$ on emploiera les transformations de l’article 10 de la Section précédente, et les équations (a) donneront sur-le-champ ces transformées, analogues aux transformées (F) de ce dernier article,

(f)

$\left\{{\begin{aligned}\Delta \left({\frac {\partial p}{\partial t}}+p{\frac {\partial p}{\partial x}}+q{\frac {\partial p}{\partial y}}+r{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mathrm {X} \right)&+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial x}}=0,\\\Delta \left({\frac {\partial q}{\partial t}}+p{\frac {\partial q}{\partial x}}+q{\frac {\partial q}{\partial y}}+r{\frac {\partial q}{\partial z}}+\mathrm {Y} \right)&+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial y}}=0,\\\Delta \left({\frac {\partial r}{\partial t}}+p{\frac {\partial r}{\partial x}}+q{\frac {\partial r}{\partial y}}+r{\frac {\partial r}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right)&+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial z}}=0.\end{aligned}}\right.$

Dans l’équation (b), outre la substitution de $pdt,\,qdt,\,rdt,$ au lieu de $dx,\,dy,\,dz,$ et le changement de $\mathrm {D}$ en $d,$ il faudra encore mettre