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SECONDE PARTIE. — SECTION XII.

3. Si l’on regarde les coordonnées $x,\,y,\,z$ comme des fonctions des coordonnées primitives $a,\,b,\,c$ et du temps $t$ écoulé depuis le commencement du mouvement, les équations (a) deviendront, par des procédés semblables à ceux de l’article 5 de la Section précédente, de cette forme

(c)

$\left\{{\begin{aligned}\theta \Delta \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} \right)&+\alpha \ \,{\frac {\partial \varepsilon }{\partial a}}\,+\beta \ \,{\frac {\partial \varepsilon }{\partial b}}+\gamma \ \ {\frac {\partial \varepsilon }{\partial c}}=0,\\\theta \Delta \left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} \right)&+\alpha '\ {\frac {\partial \varepsilon }{\partial a}}+\beta '\ {\frac {\partial \varepsilon }{\partial b}}+\gamma '\ {\frac {\partial \varepsilon }{\partial c}}=0,\\\theta \Delta \left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} \right)&+\alpha ''{\frac {\partial \varepsilon }{\partial a}}+\beta ''{\frac {\partial \varepsilon }{\partial b}}\,+\gamma ''\,{\frac {\partial \varepsilon }{\partial c}}=0,\end{aligned}}\right.$

ou de celle-ci, plus simple,

(d)

$\left\{{\begin{aligned}\Delta \left[\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} \right){\frac {\partial x}{\partial a}}+\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} \right){\frac {\partial y}{\partial a}}+\left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} \right){\frac {\partial z}{\partial a}}\right]+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial a}}=&0,\\\Delta \left[\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} \right){\frac {\partial x}{\partial b}}+\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} \right){\frac {\partial y}{\partial b}}+\left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} \right){\frac {\partial z}{\partial b}}\right]+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial b}}=&0,\\\Delta \left[\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} \right){\frac {\partial x}{\partial c}}+\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} \right){\frac {\partial y}{\partial c}}+\left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} \right){\frac {\partial z}{\partial c}}\right]+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial c}}=&0,\end{aligned}}\right.$

ces transformées étant analogues aux transformées (C) et (D) de l’endroit cité.

À l’égard de l’équation (b), en y appliquant les transformations de l’article 3 de la Section précédente, elle se réduira à cette forme

${\frac {d\Delta }{\Delta }}+{\frac {d\theta }{\theta }}=0,$

les différentielles $d\Delta$ et $d\theta$ étant relatives uniquement à la variable $t\,;$ de sorte qu’en intégrant, on aura

$\theta \Delta =\operatorname {fonct.} (a,b,c).$

Lorsque $t=0,$ nous avons vu dans l’article cité que $\theta$ devient $1\,;$ donc,