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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
qui donne l’angle
par
pourra, lorsque l’inclinaison est assez petite, se résoudre en série par la méthode des exponentielles imaginaires employée ci-dessus. Il n’y aura qu’à mettre, dans l’expression de
en
à la place de
à la place de
et
à la place de
ce qui donnera
![{\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {\cos i-1}{\cos i+1}}=-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {i}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08324c22eb6d9fc6ddef904da9560bedcad325d7)
et l’on aura
![{\displaystyle \varphi -h=(\Phi +k)-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {i}{2}}\sin 2(\Phi +k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b07c0a838e177a551bbe59a3ba885dd0fb27a6fe)
![{\displaystyle +{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {i}{2}}\sin 4(\Phi +k)-{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{6}{\frac {i}{2}}\sin 6(\Phi +k)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2224ee3d3bd6eac809460493054351126a9c61dc)
L’équation qui donne
en
(art. 5),
![{\displaystyle \operatorname {tang} \psi =\operatorname {tang} i\sin(\varphi -h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ed863ab86bee7f0de0652c0bb9ab619f8e645b)
pourrait aussi se résoudre de la même manière, mais il en résulterait une série moins élégante. On aurait d’abord l’équation en exponentielles imaginaires,
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est ![{\displaystyle 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc5fd8163a83100c5330622e9e317fa4e872403)
![{\displaystyle {\frac {i^{\psi {\sqrt {-1}}}-i^{-\psi {\sqrt {-1}}}}{i^{\psi {\sqrt {-1}}}+i^{-\psi {\sqrt {-1}}}}}=\operatorname {tang} i{\frac {i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94332ed4757f05dda68912db81298a95b5514956)
d’où l’on tirerait
![{\displaystyle i^{2\psi {\sqrt {-1}}}={\frac {1+{\cfrac {\operatorname {tang} i}{2}}\left[i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}\right]}{1-{\cfrac {\operatorname {tang} i}{2}}\left[i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}\right]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b35b4e0bf9e0881a741ec48563109129c450ab5c)
et prenant les logarithmes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi =&+{\frac {\operatorname {tang} i}{2{\sqrt {-1}}}}\ \ \ \left[i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}\right]\\&+{\frac {\operatorname {tang} ^{3}i}{3.8{\sqrt {-1}}}}\ \left[i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}\right]^{3}\\&+{\frac {\operatorname {tang} ^{5}i}{5.32{\sqrt {-1}}}}\left[i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}\right]^{5},\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36184e5e1fbb4c0a267b25e3f967e8f3c0e14f5c)