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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

répondent, on aura enfin la série^[1]

\Phi =\theta +\mathrm {2E\sin \theta +{\frac {2E^{2}}{2}}\sin 2\theta +{\frac {2E^{3}}{3}}\sin 3\theta } +\ldots .

Il ne s’agira donc plus que de substituer pour $\theta$ sa valeur en $u.$ Si donc on fait, pour abréger,

\mathrm {U} =\cos u+\mathrm {E} \cos 2u+\mathrm {E} ^{2}\cos 3u+\ldots ,

on aura

{\begin{aligned}\Phi =u&+e\sin u+{\frac {e^{2}d\sin ^{2}u}{2du}}+{\frac {e^{2}d^{2}\sin ^{3}u}{2.3du^{3}}}+\ldots \\&+2\mathrm {E} \sin u+{\frac {2\mathrm {E} ^{2}}{2}}\sin 2u+{\frac {2\mathrm {E} ^{3}}{3}}\sin 3u+\ldots \\&+2e\mathrm {EU} \sin u+2e^{2}\mathrm {E} {\frac {d\left(\mathrm {U} \sin ^{2}u\right)}{2du}}+2e^{3}\mathrm {E} {\frac {d^{2}\left(\mathrm {U} \sin ^{3}u\right)}{2.3du^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}

On peut réduire la valeur de $\mathrm {U}$ à une forme finie, et l’on trouve

\mathrm {U} ={\frac {\cos u-\mathrm {E} }{1-2\mathrm {E} \cos u+\mathrm {E} ^{2}}}={\frac {\left(1+{\sqrt {1-e^{2}}}\right)\cos u-e}{2(1-e\cos u)}}.

Ces formules ont l’avantage de donner la loi des séries, qui n’était pas connue auparavant.

23. Puisqu’en prenant le plan des $xy$ pour celui de l’écliptique supposé fixe, et supposant l’axe des $x$ dirigé vers le premier point d’Aries, l’angle $\varphi$ est ce qu’on appelle la longitude de la planète, l’angle $h$ est la longitude du nœud, l’angle $\psi$ est la latitude, il est clair que l’angle $\Phi +k,$ dont $\varphi -h$ est la projection sur l’écliptique, sera la longitude dans l’orbite comptée du nœud, ou ce qu’on appelle l’argument de la latitude ; et l’équation (art. 7)

\operatorname {tang} (\varphi -h)=\cos i\operatorname {tang} (\Phi +k),

↑ Voir dans les Mémoires de l’Académie de Berlin de 1776 plusieurs applications de cette méthode^*. (Note de Lagrange.)

* Le Mémoires auquel renvoie Lagrange a pour titre Solution de quelques problèmes d’Astronomie par le moyen des séries et se trouve inséré au tome IV des Œuvres de Lagrange, p. 275 G. D.
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[1] Voir dans les Mémoires de l’Académie de Berlin de 1776 plusieurs applications de cette méthode^*. (Note de Lagrange.)

* Le Mémoires auquel renvoie Lagrange a pour titre Solution de quelques problèmes d’Astronomie par le moyen des séries et se trouve inséré au tome IV des Œuvres de Lagrange, p. 275 G. D.
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