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SECONDE PARTIE. — SECTION XI.
Application de ces formules au mouvement d’un fluide qui coule
dans un vase étroit et presque vertical.
28. Imaginons maintenant que le fluide coule dans un vase étroit et à peu près vertical, et supposons, pour plus de simplicité, que les abscisses
soient verticales et dirigées de haut en bas ; on aura (art. 23)
![{\displaystyle \xi =0,\qquad \qquad \eta =90^{\circ },\quad \quad \zeta =90^{\circ }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351738f4b3b2fb691df03822cf29eebc82a27df0)
donc
![{\displaystyle \cos \xi =1,\qquad \cos \eta =0,\qquad \cos \zeta =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a608c7c40ba69f51abcf462ef5b73b803712c4)
Supposons de plus, pour simplifier la question autant qu’il est possible, que le vase soit plan, en sorte que, des deux ordonnées
et
les premières
soient nulles, et les secondes
soient fort petites.
Enfin, soient
et
les équations des deux parois du vase,
et
étant des fonctions de
connues et fort petites. On aura, relativement à ces parois, les deux équations (art. 26)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ''-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)&-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha ^{2}{\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}\right)+\ldots =0,\\\varphi ''-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\beta {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)&-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\beta ^{2}{\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}\right)+\ldots =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebbff95922df120a9c2b76d2d04a394eea81be2b)
lesquelles serviront à déterminer les fonctions
et ![{\displaystyle \varphi ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d523aa041bd02bca9a270815a81017d8e7d1345)
Nous regarderons les quantités
comme très petites du premier ordre, et nous négligerons, du-moins dans la première approximation, les quantités du second ordre et des ordres suivants. Ainsi les deux équations précédentes se réduiront à celles-ci
![{\displaystyle \varphi ''-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)=0,\qquad \varphi ''-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\beta {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc1104bb077e713d9de737503b448bcb5ed0d0d7)
lesquelles, étant retranchées l’une de l’autre, donnent
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left[(\alpha -\beta ){\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1951ae396b2f4a0b3428b370842581ba2e37c8a)