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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

22. On pourrait tirer de là la valeur de l’angle $\Phi$ par la série qui donne l’angle par la tangente, mais on aurait difficilement, de cette manière, une série dont on pût connaître la loi. Pour obtenir une telle série, il faudra tirer d’abord la valeur de l’angle $\Phi$ de l’équation

$\operatorname {tang} \Phi ={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\operatorname {tang} {\frac {\theta }{2}},$

ce qu’on peut faire d’une manière élégante, en employant les exponentielles imaginaires. On aura ainsi cette transformée, en prenant $i$ pour le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité,

${\frac {i^{{\frac {\Phi }{2}}{\sqrt {-1}}}-i^{-{\frac {\Phi }{2}}{\sqrt {-1}}}}{i^{{\frac {\Phi }{2}}{\sqrt {-1}}}+i^{-{\frac {\Phi }{2}}{\sqrt {-1}}}}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}{\frac {i^{{\frac {\theta }{2}}{\sqrt {-1}}}-i^{-{\frac {\theta }{2}}{\sqrt {-1}}}}{i^{{\frac {\theta }{2}}{\sqrt {-1}}}+i^{-{\frac {\theta }{2}}{\sqrt {-1}}}}},$

laquelle se réduit à celle-ci

${\frac {i^{\Phi {\sqrt {-1}}}-1}{i^{\Phi {\sqrt {-1}}}+1}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}{\frac {i^{\theta {\sqrt {-1}}}-1}{i^{\theta {\sqrt {-1}}}+1}}\,;$

d’où l’on tire, en faisant ${\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}=\varepsilon ,$

$i^{\Phi {\sqrt {-1}}}={\frac {(1+\varepsilon )i^{\theta {\sqrt {-1}}}+1-\varepsilon }{(1-\varepsilon )i^{\theta {\sqrt {-1}}}+1+\varepsilon }}$

ou bien, en supposant $\mathrm {E} ={\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +1}}={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}.$

$i^{\Phi {\sqrt {-1}}}=i^{\theta {\sqrt {-1}}}{\frac {1-\mathrm {E} i^{-\theta {\sqrt {-1}}}}{1-\mathrm {E} i^{\theta {\sqrt {-1}}}}}.$

Prenons maintenant les logarithmes des deux membres, on aura, en divisant par ${\sqrt {-1}},$

$\Phi =\theta +{\frac {1}{\sqrt {-1}}}\log \left(1-\mathrm {E} i^{-\theta {\sqrt {-1}}}\right)-{\frac {1}{\sqrt {-1}}}\log \left(1-\mathrm {E} i^{\theta {\sqrt {-1}}}\right)\,;$

réduisant les logarithmes du second membre en série, et substituant ensuite, à la place des exponentielles imaginaires, les sinus réels qui y