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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

doit être une différentielle exacte c’est celui où l’on suppose que les vitesses $p,\,q,\,r$ soient très petites et qu’on néglige les quantités très petites du second ordre et des ordres suivants. Gar il est visible que, dans cette hypothèse, la même équation (L) se réduira à

$d\lambda -d\mathrm {V} ={\frac {\partial p}{\partial t}}dx+{\frac {\partial q}{\partial t}}dy+{\frac {\partial r}{\partial t}}dz,$

où l’on voit que, ${\frac {\partial p}{\partial t}}dx+{\frac {\partial q}{\partial t}}dy+{\frac {\partial r}{\partial t}}dz$ devant être intégrable relativement à $x,y,z,$ la quantité $pdx+qdy+rdz$ devra l’être aussi. On aura ainsi les mêmes formules que dans l’article précédent, en supposant $\varphi$ une fonction très petite et négligeant les secondes dimensions de $\varphi$ et de ses différentielles.

On pourra de plus, dans ce cas, déterminer les valeurs mêmes de $x,y,z$ pour un temps quelconque, car il n’y aura pour cela qu’à intégrer les équations (art. 9)

$dx=pdt,\qquad dy=qdt,\qquad dz=rdt,$

dans lesquelles, puisque $p,\,q,\,r$ sont très petites et que, par conséquent, $dx,\,dy,\,dz$ sont aussi très petites du même ordre vis-à-vis de $dt,$ on pourra regarder $x,y,z$ comme constantes par rapport à $t.$ De sorte qu’en traitant $t$ seul comme variable dans les fonctions $p,\,q,\,r,$ et ajoutant les constantes $a,b,c,$ on aura sur-le-champ

$x=a+\int pdt,\qquad y=b+\int qdt,\qquad z=c+\int rdt.$

Donc faisant, pour abréger,

$\Phi =\int \varphi dt$

et changeant dans $\Phi$ les variables $x,\,y,\,z$ en $a,\,b,\,c,$ on aura simplement

$x=a+{\frac {\partial \Phi }{\partial a}},\qquad y=b+{\frac {\partial \Phi }{\partial b}},\qquad z=c+{\frac {\partial \Phi }{\partial c}},$

où la fonction $\Phi$ devra être prise de manière qu’elle soit nulle lorsque $t=0,$ afin que $a,\,b,\,c,$ soient les valeurs initiales de $x,\,y,\,z.$

Ce cas a lieu dans la théorie des ondes et dans toutes les petites oscillations.