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SECONDE PARTIE. — SECTION XI.
Ces valeurs étant substituées dans l’expression de
(art. 5), on a
donc
Donc, remettant pour
sa valeur dans l’équation dont il s’agit, elle sera de la forme
(E)
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Cette équation, combinée avec les trois équations (C) ou (D) des \piticles 5 et 6, servira donc à déterminer les valeurs de
en fonctions de
Cette équation peut aussi se trouver d’une manière plus simple, sans passer par l’équation différentielle (B) de l’article 3. En effet, l’équation (B) exprime seulement que la variation du volume
de la particule
est nulle, tandis que le temps
varie ; de sorte que la valeur de
doit être constante et égale à la valeur primitive
Or nous avons donné dans l’article 5 les expressions de
en
mais il faut remarquer que, dans la formule
la différence
doit être prise en y regardant
et
comme constantes ; que, de même, la différence
doit être prise en regardant
et
comme constantes, et qu’enfin la différence
suppose
et
constantes, ce qui est évident en considérant le parallélépipède rectangle représenté par
Supposons donc d’abord
et
constantes, et, par conséquent,
et
nuls ; on aura les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial x}{\partial a}}da+{\frac {\partial x}{\partial b}}db+{\frac {\partial x}{\partial c}}dc=&0,\\{\frac {\partial y}{\partial a}}da+{\frac {\partial y}{\partial b}}db+{\frac {\partial y}{\partial c}}dc=&0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8226b2358ec97382e05ba28dfd582f267fa818)
d’où l’on tire
![{\displaystyle da={\frac {{\cfrac {\partial x}{\partial b}}{\cfrac {\partial y}{\partial c}}-{\cfrac {\partial x}{\partial c}}{\cfrac {\partial y}{\partial b}}}{{\cfrac {\partial x}{\partial a}}{\cfrac {\partial y}{\partial b}}-{\cfrac {\partial y}{\partial a}}{\cfrac {\partial x}{\partial b}}}}dc,\qquad db={\frac {{\cfrac {\partial x}{\partial c}}{\cfrac {\partial y}{\partial a}}-{\cfrac {\partial x}{\partial a}}{\cfrac {\partial y}{\partial c}}}{{\cfrac {\partial x}{\partial a}}{\cfrac {\partial y}{\partial b}}-{\cfrac {\partial y}{\partial a}}{\cfrac {\partial x}{\partial b}}}}dc\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9e3e8f1ed9642fe710ec4a7c016e35267eb279)