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SECONDE PARTIE. — SECTION XI.

dérations que dans l’article 11 de la Section VII de la première Partie ; ainsi, en changeant $d$ en $\operatorname {D}$ dans les formules de cet endroit, on aura

$\delta (\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z)=\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z\left({\frac {\operatorname {D} \delta x}{\operatorname {D} x}}+{\frac {\operatorname {D} \delta y}{\operatorname {D} y}}+{\frac {\operatorname {D} \delta z}{\operatorname {D} z}}\right).$

Cette quantité étant multipliée par $\lambda$ et intégrée relativement à toute la masse du fluide, on aura la valeur de _S$\lambda \delta \mathrm {L} ,$ dans laquelle il faudra faire disparaître les doubles signes $\operatorname {D} \delta$ par les mêmes procédés déjà employés dans l’article 17 de la Section citée. On aura ainsi

_S$\lambda \delta \mathrm {L} =-$_S$\left({\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}\delta z\right)\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z$

$+$_S$(\lambda ''\delta x''-\lambda '\delta x')\operatorname {D} y\operatorname {D} z+$_S$(\lambda ''\delta y''-\lambda '\delta y')\operatorname {D} x\operatorname {D} z$

$+$_S$(\lambda ''\delta z''-\lambda '\delta z')\operatorname {D} x\operatorname {D} y.$

Faisant donc ces substitutions dans le premier membre de l’équation générale, elle contiendra premièrement cette formule intégrale totale

(a)                     _S$\left\{{\begin{aligned}&\left(\Delta {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\Delta \mathrm {X} -{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}\right)\delta x\\+&\left(\Delta {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\Delta \mathrm {Y} -{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}\right)\delta y\\+&\left(\Delta {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\Delta \mathrm {Z} -{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}\right)\delta z\end{aligned}}\right\}\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z,$

dans laquelle il faudra faire séparément égaux à zéro les coefficients des variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,$ ce qui donnera ces trois équations indéfinies, pour tous les points de la masse fluide,

(A)

$\left\{{\begin{aligned}\Delta \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} \right)-{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}=&0,\\\Delta \left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} \right)-{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}=&0,\\\Delta \left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} \right)-{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}=&0.\end{aligned}}\right.$