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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.

mais seulement très petits, il faudra que les valeurs de ${\frac {d\theta }{dt}},$ ou de $\mathrm {F}$ et $\mathrm {G}$ soient aussi très petites, ce qui fait deux cas qui demandent à être examinés séparément.

37. Supposons premièrement que ${\frac {d\theta }{dt}}$ soit une quantité très petite du même ordre que $\zeta '$ et $\zeta ''\,;$ on aura, aux quantités du second ordre près,

$p={\frac {d\zeta ''}{dt}},\qquad q=-{\frac {d\zeta '}{dt}}.$

Par ces substitutions, en négligeant toujours les quantités du second ordre et changeant, pour plus de simplicité, les lettres $\zeta ',\,\zeta ''$ en $s,\,u,$ les équations différentielles de l’article précédent deviendront

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {A} d^{2}u-\mathrm {G} d^{2}\theta +\mathrm {H} d^{2}s}{dt^{2}}}+\mathrm {K} u=&0,\\{\frac {-\mathrm {B} d^{2}s-\mathrm {F} d^{2}\theta -\mathrm {H} d^{2}u}{dt^{2}}}-\mathrm {K} s=&0,\\{\frac {\mathrm {C} d^{2}\theta +\mathrm {F} d^{2}s-\mathrm {G} d^{2}u}{dt^{2}}}=&0.\end{aligned}}$

La dernière donne ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}={\frac {\mathrm {G} d^{2}u-\mathrm {F} d^{2}s}{\mathrm {C} dt^{2}}}\,;$ et, cette valeur étant substituée dans les deux premières, on aura ces deux-ci :

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {\left(AC-G^{2}\right)} d^{2}u+(\mathrm {CH+GF} )d^{2}s}{dt^{2}}}+\mathrm {CK} u=&0,\\{\frac {\mathrm {\left(BC-F^{2}\right)} d^{2}s+(\mathrm {CH+GF} )d^{2}u}{dt^{2}}}+\mathrm {CK} s=&0,\end{aligned}}$

dont l’intégration est facile par les méthodes connues.

Qu’on suppose pour cela

$s=\alpha \sin(\rho t+\beta ),\qquad u=\gamma \sin(\rho t+\beta ),$

$\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\rho$ étant des constantes indéterminées ; on aura, après ces substitutions, ces deux équations de condition

${\begin{aligned}\mathrm {\left(AC-G^{2}\right)\gamma \rho ^{2}+(CH+GF)\alpha \rho ^{2}-CK\gamma } =0,\\\mathrm {\left(BC-F^{2}\right)\alpha \rho ^{2}+(CH+GF)\gamma \rho ^{2}-CK\alpha } =0,\end{aligned}}$