256
MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
et
![{\displaystyle \xi '^{2}+\xi ''^{2}=1,\qquad \eta '^{2}+\eta ''^{2}=1,\qquad \xi '\eta '+\xi ''\eta ''=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd206786cd17c1459ce3c7c1c1535207a56590e)
donc
![{\displaystyle \xi '=\sin \varpi ,\quad \xi ''=\cos \varpi ,\quad \eta '=\sin \theta ,\quad \eta ''=\cos \theta \quad {\text{et}}\quad \cos(\varpi -\theta )=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6532dbf9e4f1eb926e2d2892bb71ae801f5b5c70)
d’où
![{\displaystyle \varpi =90^{\circ }+\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38fd744c19a7a13bb1ea3889244ed25661db0174)
et par conséquent
![{\displaystyle \xi '=\cos \theta ,\quad \xi ''=-\sin \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33538ad96f2b9ad87389a35dc96f4358d6372cbd)
Substituant ces valeurs dans les expressions de
de l’article 11, on aura
![{\displaystyle d\mathrm {P} =\zeta 'd\theta +d\zeta '',\quad d\mathrm {Q} =\zeta ''d\theta -d\zeta ',\quad d\mathrm {R} =d\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c27730801383c63dd3e9698ae6e231be8e1b1384)
en négligeant toujours les quantités du second ordre.
Ainsi donc on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}p=&{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}={\frac {\zeta 'd\theta +d\zeta ''}{dt}},\\q=&{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}={\frac {\zeta ''d\theta -d\zeta '}{dt}},\\r=&{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}={\frac {d\theta }{dt}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b25553e9c073416a8a068295ebf0b9a5fa27e4b)
valeurs qui, étant substituées dans les équations différentielles ci-dessus, donneront, en négligeant les puissances et les produits de
des équations linéaires pour la détermination de ces variables.
Mais, avant de faire ces substitutions, on remarquera qu’en supposant
et
nuls, les équations dont il s’agit donneront
![{\displaystyle -\mathrm {G} {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\mathrm {F} {\frac {d\theta ^{2}}{dt^{2}}}=0,\qquad -\mathrm {F} {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}-\mathrm {G} {\frac {d\theta ^{2}}{dt^{2}}}=0,\qquad \mathrm {C} {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3437b04c21c4e9d9afcaa8959b5e2aaacce96d4)
Donc, puisque
ne saurait devenir nul, à moins que le corps ne se réduise à une ligne physique,
étant S
il s’ensuit qu’on ne peut satisfaire à ces équations qu’en faisant
et ensuite, ou
ou
et
De là il est facile de conclure que, lorsque
et
ne sont pas nuls,