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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

il est visible que ces trois intégrales se réduiront à cette forme

$\mathrm {A} \left(p^{2}+q^{2}\right)+\mathrm {C} r^{2}-2\mathrm {K} \zeta '''=2f,$

$\mathrm {A} (\zeta 'p+\zeta ''q)+\mathrm {C} \zeta '''r=h,\qquad r=n,$

$f,\,h,\,n$ étant des constantes arbitraires.

Donc, si l’on substitue pour $\zeta ',\,\zeta '',\,\zeta ''',$ et pour $p,\,q,\,r$ leurs valeurs en fonctions de $\varphi ,\,\psi ,\,\omega$ (art. 7, 20), on aura ces trois équations

$\mathrm {A} {\frac {\sin ^{2}\omega d\psi ^{2}+d\omega ^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {C} n^{2}-2\mathrm {C} \cos \omega =2f,$

$\mathrm {A} {\frac {\sin ^{2}\omega d\psi }{dt}}+\mathrm {C} n\cos \omega =h,\qquad {\frac {d\varphi +\cos \omega d\psi }{dt}}=n,$

lesquelles ont, comme l’on voit, l’avantage que les angles finis $\psi$ et $\varphi$ ne s’y trouvent pas.

La seconde donne d’abord

${\frac {d\psi }{dt}}={\frac {h-\mathrm {C} n\cos \omega }{\mathrm {A} \sin ^{2}\omega }},$

et, cette valeur étant substituée dans la première, on aura

$dt={\frac {\mathrm {A} \sin \omega d\omega }{\sqrt {\mathrm {A} \sin ^{2}\omega \left(2f-\mathrm {C} n^{2}+2\mathrm {K} \cos \omega \right)-(h-\mathrm {C} n\cos \omega )^{2}}}}\,;$

ensuite la deuxième et la troisième donneront

${\begin{aligned}d\psi =&{\frac {(h-\mathrm {C} n\cos \omega )d\omega }{\sin \omega {\sqrt {\mathrm {A} \sin ^{2}\omega \left(2f-\mathrm {C} n^{2}+2\mathrm {K} \cos \omega \right)-(h-\mathrm {C} n\cos \omega )^{2}}}}},\\d\varphi =&{\frac {\left[\mathrm {A} n-h\cos \omega +(\mathrm {C-A} )n\cos ^{2}\omega \right]d\omega }{\sin \omega {\sqrt {\mathrm {A} \sin ^{2}\omega \left(2f-\mathrm {C} n^{2}+2\mathrm {K} \cos \omega \right)-(h-\mathrm {C} n\cos \omega )^{2}}}}},\end{aligned}}$

équations où les indéterminées sont séparées, mais dont l’intégration dépend en général de la rectification des sections coniques.

36. Reprenons les équations (E) et substituons-y les valeurs de ${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}},$