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Supposons donc que l’axe des coordonnées $c$ passe par le centre de gravité du corps ; on aura alors, par les propriétés de ce centre,

_S$a\operatorname {D} m=0,\qquad$ _S$b\operatorname {D} m=0,$

et si l’on nomme $k$ la distance entre le centre du corps, qui est le point de suspension, et son centre de gravité, il est visible qu’on aura aussi

_S$(c-k)\operatorname {D} m=0\,;$

donc

_S$c\operatorname {D} m=$_S$k\operatorname {D} m=k$_S$\operatorname {D} m=km,$

en nommant $m$ la masse du corps.

Faisant ces substitutions et mettant $\mathrm {K}$ pour $km,$ on aura les trois équations suivantes :

(E)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}}{dt}}+q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}-r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}&+\mathrm {K} \zeta ''=0,\\{\frac {d{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}}{dt}}+r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}-p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}&-\mathrm {K} \zeta '\ =0,\\{\frac {d{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}}{dt}}+p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}-q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}&=0,\\\end{aligned}}\right.$

dans lesquelles

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} q^{2}+\mathrm {C} r^{2}\right)-\mathrm {F} qr-\mathrm {G} pr-\mathrm {H} pq.$

35. On peut d’abord trouver deux intégrales de ces équations, en les ajoutant ensemble, après les avoir multipliées respectivement par $p,\,q,\,r$ ou par $\zeta ',\,\zeta '',\,\zeta '''\,;$ car, à cause de

$d\zeta '=(\zeta ''r-\zeta '''q)dt,\qquad d\zeta ''=(\zeta '''p-\zeta 'r)dt,\qquad d\zeta '''=(\zeta 'q-\zeta ''p)dt$

(art. 13), on aura ainsi les deux équations

$p\,d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+q\,d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+r\,d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}-\mathrm {K} d\zeta '''=0,$

$\zeta 'd{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+\zeta ''d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+\zeta '''d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}d\zeta '+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}d\zeta ''+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}d\zeta '''=0,$