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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

arrêterons pas ici. On peut voir les Principes de Newton et les Ouvrages où l’on a traduit ses théories en Analyse.

16. Revenons maintenant à l’équation qui donne $t$ en $r$ (art. 10), et substituons-y $-{\frac {\mathrm {g} }{r}}$ à la place de $\int \mathrm {R} dr,$ $\mathrm {g} b=\mathrm {g} a\left(1-e^{2}\right)$ à la place de $\mathrm {D} ^{2},$ et $-{\frac {\mathrm {g} }{a}}$ à la place de $2\mathrm {H} \,;$ elle deviendra

$dt={\frac {rdr}{{\sqrt {\mathrm {g} a}}{\sqrt {e^{2}-\left(1-{\dfrac {r}{a}}\right)^{2}}}}}.$

Faisons $1-{\frac {r}{a}}=e\cos \theta ,$ ce qui donne

$r=a(1-e\cos \theta )\,;$

on aura

$dt={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}}(1-e\cos \theta )d\theta ,$

et, intégrant avec une constante arbitraire $c,$

$t-c={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}}(\theta -e\sin \theta ).$

Cette équation donnera $\theta$ en $t\,;$ et comme on a $r$ en $\theta ,$ on aura, par la substitution, $r$ en $t.$

Si l’on fait la même substitution dans l’équation entre $\Phi$ et $r$ de l’article 11, on aura celle-ci

$d\Phi ={\frac {d\theta {\sqrt {1-e^{2}}}}{1-e\cos \theta }},$

dont l’intégrale est

$\Phi =\operatorname {arc\,\sin } {\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta }{1-e\cos \theta }}+\mathrm {const} .$

Mais on peut avoir la valeur de $\Phi$ en $\theta$ sans une nouvelle intégration, par la simple comparaison des valeurs de $r,$ laquelle donne l’équation

${\frac {b}{1+e\cos \Phi }}=a(1-e\cos \theta ),$