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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

Donc, en faisant, pour abréger,

$b=\mathrm {\frac {D^{2}}{g}} ,\quad e=\mathrm {\sqrt {1+{\frac {2HD}{g}}}} ,$

on aura

$r={\frac {b}{1+e\cos \Phi }},$

équation polaire d’une section conique dont $b$ est le paramètre, $e$ l’excentricité, c’est-à-dire le rapport de la distance des foyers au grand axe, $r$ le rayon vecteur partant d’un des foyers, et l’angle qu’il fait avec la partie du grand axe qui répond au sommet le plus proche de ce foyer.

La plus grande et la plus petite valeur de $r$ étant ${\frac {b}{1-e}}$ et ${\frac {b}{1+e}},$ leur demi-somme sera ${\frac {b}{1-e^{2}}}\,;$ c’est la distance moyenne que nous désignerons par $a,$ de sorte qu’on aura

$b=a\left(1-e^{2}\right),$

et si l’on substitue ici pour $b$ et $e$ leurs valeurs en $\mathrm {D}$ et $\mathrm {H} ,$ on aura

${\frac {1}{a}}={\frac {1-e^{2}}{b}}=-\mathrm {\frac {2H}{g}} \,;$

d’où l’on voit que la constante $\mathrm {H}$ doit être négative pour que l’orbite soit elliptique ; si elle était nulle, l’axe $2a$ serait infini, et l’orbite deviendrait parabolique ; mais, si elle était positive, l’axe $2a$ serait négatif^[1], et l’orbite serait hyperbolique. Dans le premier cas, la valeur de l’excentricité $e$ sera moindre que l’unité ; elle sera $1$ dans le deuxième cas et plus grande que $1$ dans le troisième.

Il y a encore une autre hypothèse d’attraction qui donne aussi une orbite elliptique, c’est l’attraction en raison directe des distances ; mais, comme elle n’est point applicable aux planètes, nous ne nous y

1. Lorsque les formules donnent pour $2a$ une valeur négative, l’équation $b=a\left(1-e^{2}\right)$ apprend que $e$ est plus grand que l’unité, car $b$ est positif et égal à $\mathrm {\frac {D^{2}}{g}} \,;$ c’est pour cette raison que la trajectoire est une hyperbole. (J. Bertrand.)