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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.
pour multiplicateurs, on trouvera de même les trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma p'''=&\mathrm {A} p'''-\mathrm {H} q'''\,-\mathrm {G} r''',\\\gamma q'''=&\mathrm {B} q'''\,-\mathrm {F} r'''\,-\mathrm {H} p''',\\\gamma r'''=&\mathrm {C} r'''\,-\mathrm {G} p'''-\mathrm {F} q''',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6185281af63ac6284a867af0f5475238ccdc72a)
auxquelles on joindra l’équation
![{\displaystyle p'''^{2}+q'''^{2}+r'''^{2}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e775756fe16d2f87692a03abd2e181e800d487ea)
et, comme ces équations sont en tout semblables aux précédentes, on en tirera des conclusions analogues.
On conclura donc, en général, que l’équation en
trouvée ci-dessus aura pour racines les valeurs des trois quantités
et que, ces trois racines étant substituées successivement dans les expressions de
en
on aura tout de suite les valeurs de
de
et de
de sorte que tout sera connu, moyennant la résolution de l’équation dont il s’agit.
Au reste, comme cette équation est du troisième degré, elle aura toujours une racine réelle, qui, étant prise pour
rendra aussi réelles les trois quantités
À l’égard des deux autres racines
et
si elles étaient imaginaires, elles seraient, comme l’on sait, de la forme
![{\displaystyle b+c{\sqrt {-1}}\qquad {\text{et}}\qquad b-c{\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65eeb05b9bf320fe10312772143edd1caede0ed)
de sorte que les quantités
qui sont des fonctions rationnelles de
seraient aussi de ces formes
![{\displaystyle m+n{\sqrt {-1}},\qquad m'+n'{\sqrt {-1}},\qquad m''+n''{\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4bc4107b1619f5076d96ec622b0fb2450010ed4)
et les quantités
qui sont de semblables fonctions de
seraient des formes réciproques
![{\displaystyle m-n{\sqrt {-1}},\qquad m'-n'{\sqrt {-1}},\qquad m''-n''{\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc82fac8fff66504c311ec24a2d029026a552e4)
donc l’équation de condition
deviendrait
![{\displaystyle m^{2}+n^{2}+m'^{2}+n'^{2}+m''^{2}+n''^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6954724f102619cabdbc6b7b8585ca442e0e4d1)