237
SECONDE PARTIE. — SECTION IX.
comparaison avec la valeur de
de l’article 25 donneront ainsi les six équations suivantes :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&\alpha p'^{2}&+&\beta p''^{2}&+&\gamma p'''^{2}&=&\mathrm {A} ,\\&\alpha q'^{2}&+&\beta q''^{2}&+&\gamma q'''^{2}&=&\mathrm {B} ,\\&\alpha r'^{2}&+&\beta r''^{2}&+&\gamma r'''^{2}&=&\mathrm {C} ,\\&\alpha q'r'&+&\beta q''r''&+&\gamma q'''r'''&=&-\mathrm {F} ,\\&\alpha p'r'&+&\beta p''r''&+&\gamma p'''r'''&=&-\mathrm {G} ,\\&\alpha p'q'&+&\beta p''q''&+&\gamma p'''q'''&=&-\mathrm {H} ,\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/636646aa5b122622766f24d8cf2f4b8ea391e0d4)
qui serviront à la détermination des six inconnues dont il s’agit.
Et cette détermination n’a même aucune difficulté ; car, si l’on ajoute ensemble la première équation multipliée par
la sixième multipliée par
et la cinquième multipliée par
on a, en vertu des équations de condition déjà citées,
![{\displaystyle \alpha p'=\mathrm {A} p'-\mathrm {H} q'-\mathrm {G} r'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62f2479963487137ed5c7db99a42369376e08cdd)
en ajoutant la deuxième, la quatrième et la sixième, multipliées respectivement par
on aura pareillement
![{\displaystyle \alpha q'=\mathrm {B} q'-\mathrm {F} r'-\mathrm {H} p'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc76b932bb11e4d23c5934e62d287c8fc9d194f1)
ajoutant enfin la troisième, la cinquième et la quatrième, multipliées respectivement par
on aura
![{\displaystyle \alpha r'=\mathrm {C} r'-\mathrm {G} p'-\mathrm {F} q'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815f0eee6d4a2ad76cb75cf07853a34f9519df75)
et ces trois équations, étant combinées avec l’équation de condition
![{\displaystyle p'^{2}+q'^{2}+r'^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25a42ec8389b3aad14bdd9caff799f2c51ee4acf)
serviront à déterminer les quatre inconnues ![{\displaystyle \alpha ,\,p',\,q',\,r'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfeabd59454d7b2cdb47b098a1af5fec2038470d)
Les deux premières équations donnent
![{\displaystyle q'=\mathrm {\frac {HG+F(A-\alpha )}{FH+G(B-\alpha )}} p',\qquad r'=\mathrm {\frac {(A-\alpha )(B-\alpha )-H^{2}}{FH+G(B-\alpha )}} p'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e396d1e3733fc10ee350aaf51ab4a4ede122c64)
substituant ces valeurs dans la troisième, on aura, après avoir divisé