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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

d’où l’on tire

${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}}=-$_S$a\operatorname {D} m,\qquad {\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi ''}}=-$_S$b\operatorname {D} m,\qquad {\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '''}}=-$_S$c\operatorname {D} m,$

et toutes les autres différences partielles de $\mathrm {V}$ seront nulles de sorte que les équations pour le mouvement de rotation seront (art. 22)

(B)                $\left\{{\begin{aligned}\scriptstyle {\frac {d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}}{dt}}+q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}-r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}\scriptstyle -\xi '''\displaystyle \mathbf {S} \scriptstyle b\operatorname {D} m+\xi ''\displaystyle \mathbf {S} \scriptstyle c\operatorname {D} m=0&,\\\scriptstyle {\frac {d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}}{dt}}+r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}-p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}-\xi '\displaystyle \mathbf {S} \scriptstyle c\operatorname {D} m+\xi '''\displaystyle \mathbf {S} \scriptstyle a\operatorname {D} m=0&,\\\scriptstyle {\frac {d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}}{dt}}+p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}-q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}-\xi ''\displaystyle \mathbf {S} \scriptstyle a\operatorname {D} m+\xi '\displaystyle \mathbf {S} \scriptstyle b\operatorname {D} m=0&,\end{aligned}}\right.$

les quantités _S$a\operatorname {D} m,$ _S$b\operatorname {D} m,$ _S$c\operatorname {D} m$ devant être regardées comme des constantes données par la figure du corps et par le lieu du point de suspension.

25. La solution du premier cas, où le corps est supposé entièrement libre, et où l’on ne considère que la rotation autour du centre de gravité, dépend uniquement de l’intégration des trois équations $(\mathrm {A} ).$

Or il est d’abord facile de trouver deux intégrales de ces équations ; car :

1^o si on les multiplie respectivement par ${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}},$ et qu’ensuite on les ajoute ensemble, on a évidemment une équation intégable, et dont l’intégrale sera

$\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\right)^{2}=f^{2},$

$f^{2}$ étant une constante arbitraire.

2^o Si l’on multiplie les mêmes équations par $p,\,q,\,r$ et qu’on les ajoute ensemble, on aura celle-ci

$pd{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+qd{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+rd{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=0,$