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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

§ 1. — Du mouvement des planètes et des comètes autour du Soleil
supposé fixe.

15. Dans le système du monde, la force attractive étant en raison inverse du carré des distances, on fera $\mathrm {R} {\frac {\mathrm {g} }{r^{2}}},$ $\mathrm {g}$ étant la force attractive d’une planète vers le Soleil, à la distance $r=1,$ ce qui donnera $\int \mathrm {R} dr=-{\frac {\mathrm {g} }{r}}.$

Substituant cette valeur dans l’équation entre $\Phi$ et $r$ (art. 11), on voit que la quantité sous le signe devient

$2\mathrm {H} +{\frac {2\mathrm {g} }{r}}-{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}},$

laquelle peut se mettre sous la forme

$2\mathrm {H+{\frac {g^{2}}{D^{2}}}} -\left({\frac {\mathrm {D} }{r}}-\mathrm {\frac {g}{D}} \right)^{2}\,;$

alors le second membre de l’équation exprimera la différentielle de l’angle ayant pour cosinus la quantité

${\frac {{\dfrac {\mathrm {D} }{r}}-\mathrm {\dfrac {g}{D}} }{\mathrm {\sqrt {2H+{\dfrac {g^{2}}{D^{2}}}}} }}\,;$

de sorte que, intégrant, ajoutant à $\Phi$ la constante arbitraire $\mathrm {K}$ et passant des arcs à leurs cosinus, on aura

${\dfrac {\mathrm {D} }{r}}-\mathrm {\dfrac {g}{D}} =\mathrm {\sqrt {2H+{\dfrac {g^{2}}{D^{2}}}}} \cos(\Phi +\mathrm {K} ).$

On voit que la plus petite valeur de $r$ aura lieu lorsque l’angle $\Phi +\mathrm {K}$ est nul de sorte que, comme nous avons supposé (art. 12) que l’angle $\Phi$ commence au point qui répond au minimum de $r,$ on aura

$\mathrm {K} =0.$