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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.

l’autre de ces propriétés sans les dénaturer, et les questions dans lesquelles on ne tiendrait pas compte de toutes les deux à la fois ne seraient par conséquent que de pure curiosité.

Nous commencerons par examiner le mouvement des corps lihres, comme le sont les projectiles ; nous examinerons ensuite celui des corps retenus par un point fixe, comme le sont les pendules.

Dans le premier cas on prendra le centre du corps dans son centre de gravité, et comme alors l’effet de la gravité est nul sur la rotation, ainsi qu’on vient de le voir, on déterminera les lois de cette rotation par les trois équations suivantes (art. 22)

(A)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}}{dt}}+q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}-r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}=&0,\\{\frac {d{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}}{dt}}+r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}-p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=&0,\\{\frac {d{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}}{dt}}+p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}-q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}=&0,\end{aligned}}\right.$

en supposant (art. 21)

$p={\frac {d\mathrm {P} }{dt}},\quad q={\frac {d\mathrm {Q} }{dt}},\quad r={\frac {d\mathrm {R} }{dt}}$

et

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} q^{2}+\mathrm {C} r^{2}\right)-\mathrm {F} qr-\mathrm {G} pr-\mathrm {H} pq.$

À l’égard du centre même du corps, il suivra les lois connues du mouvement des projectiles considérés comme des points ; ainsi la détermination de son mouvement n’a aucune difficulté, et nous ne nous y arrêterons point.

Dans le second cas, on prendra le point fixe de suspension pour le centre du corps, et, supposant les coordonnées $z$ verticales et dirigées de haut en bas, on aura (art. 23)

$\mathrm {V} =(a-z')$_S$\operatorname {D} m-\xi '$_S$a\operatorname {D} m-\xi ''$_S$b\operatorname {D} m-\xi '''$_S$c\operatorname {D} m\,;$