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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

Ces expressions de $x,\,y,\,z$ sont conformes à la théorie générale exposée (Sect. II, art. 10), et l’on aurait pu les en déduire immédiatement.

En effet, en considérant tout de suite le mouvement dans l’orbite, on a les coordonnées $\mathrm {X,\,Y} ,\ldots$ la troisième $\mathrm {Z}$ étant nulle, lesquelles, ne renfermant que trois constantes arbitraires, peuvent être regardées comme des valeurs particulières des coordonnées générales $x,\,y,\,z\,;$ ensuite on aura celles-ci, par le moyen des coefficients $\alpha ,\,\beta ,\,\alpha _{1},\ldots ,$ qui renferment les trois autres constantes.

14. Si, au lieu de considérer le mouvement dans l’orbite propre du corps, on rapportait ce mouvement à un plan quelconque, par les trois coordonnées $\mathrm {X,\,Y,\,Z} ,$ lesquelles ne continssent aussi que trois constantes arbitraires, on aurait alors par la même théorie les expressions générales

{\begin{aligned}x=&\mathrm {\alpha \ \,X+\beta \ \,Y+\gamma \ \,Z} ,\\y=&\mathrm {\alpha _{1}X+\beta _{1}Y+\gamma _{1}Z} ,\\z=&\mathrm {\alpha _{2}X+\beta _{2}Y+\gamma _{2}Z} ,\end{aligned}}

et comme on a trouvé (Sect. III, art. 10)

\gamma =\alpha _{1}\beta _{2}-\beta _{1}\alpha _{2},\quad \gamma _{1}=\beta \alpha _{2}-\alpha \beta _{2},\quad \gamma _{2}=\alpha \beta _{1}-\beta \alpha _{1},

on aurait

\gamma =\sin h\sin i,\quad \gamma _{1}=-\cos h\sin i,\quad \gamma _{2}=\cos i.

Ces valeurs de $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\alpha _{1},\ldots ,$ renfermant les trois arbitraires $k,\,h,\,i,$ satisfont d’une manière générale aux six équations de condition données (Part. I, Sect. III, art. 10)

\alpha ^{2}+\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}=1,\qquad \beta ^{2}+\beta _{1}^{2}+\beta _{2}^{2}=1,\qquad \gamma ^{2}+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}=1,

\alpha \beta +\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}=0,\quad \alpha \gamma +\alpha _{1}\gamma _{1}+\alpha _{2}\gamma _{2}=0,\quad \beta \gamma +\beta _{1}\gamma _{1}+\beta _{2}\gamma _{2}=0.

Après avoir donné les formules générales pour le mouvement d’un corps attiré vers un point fixe, il ne reste qu’à les appliquer au mouvement des planètes et des comètes ; c’est l’objet des paragraphes suivants.