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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

pour $d\xi ',\,d\eta ',\,d\zeta ',\,d\xi '',\ldots$ les valeurs trouvées ci-dessus, et qu’on fasse encore, pour abréger,

${\begin{aligned}d^{2}a''=&d^{2}a'+dc'd\mathrm {Q} -db'd\mathrm {R} ,\\d^{2}b''=&d^{2}b'+da'd\mathrm {R} -dc'd\mathrm {P} ,\\d^{2}c''=&d^{2}c'+db'd\mathrm {P} -da'd\mathrm {Q} ,\end{aligned}}$

on aura les différentielles secondes

${\begin{aligned}d^{2}\xi =&\xi 'd^{2}a''+\xi ''d^{2}b''+\xi '''d^{2}c'',\\d^{2}\eta =&\eta 'd^{2}a''+\eta ''d^{2}b''+\eta '''d^{2}c'',\\d^{2}\zeta =&\zeta 'd^{2}a''+\zeta ''d^{2}b''+\zeta '''d^{2}c''.\end{aligned}}$

On voit que ces différentielles premières et secondes sont semblables aux expressions finies de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ (art. 1), et que les quantités $\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',\,\xi '',\ldots$ y entrent de la même manière ; il en serait de même des différentielles de tous les autres ordres, ce qui rend l’emploi des quantités $d\mathrm {P} ,\,d\mathrm {Q} ,\,d\mathrm {R}$ très avantageux dans les calculs relatifs à la rotation.

15. Mais il y a une remarque importante à faire sur l’emploi de ces quantités c’est que, quoiqu’elles se présentent sous la forme différentielle, on se tromperait en les traitant comme telles dans les différentiations relatives à la caractéristique $\delta .$ Ainsi il n’est pas permis de changer simplement $\delta d\mathrm {P}$ en $d\delta \mathrm {P} ,$ dans la valeur $\delta \mathrm {T} .$

Nous observerons d’abord que rien n’empêche de changer dans les formules différentielles de l’article 13 la caractéristique $d$ en $\delta ,$ ce qui introduira, dans les valeurs des variations $\delta \xi ',\,\delta \eta ',\,\delta \zeta ',\,\delta \xi '',\ldots ,$ les trois indéterminées $\mathrm {\delta P,\,\delta Q,\,\delta R} ,$ qui serviront à réduire toutes ces variations à trois arbitraires.

Ainsi, ayant trouvé (art. 13)

$d\mathrm {P} =\xi '''d\xi ''+\eta '''d\eta ''+\zeta '''d\zeta '',$

on aura de même, en changeant $d$ en $\delta ,$

$\delta \mathrm {P} =\xi '''\delta \xi ''+\eta '''\delta \eta ''+\zeta '''\delta \zeta '',$

et ainsi des quantités $d\mathrm {Q} ,\,d\mathrm {R} ,$ qui deviendront $\delta \mathrm {Q}$ et $\delta \mathrm {R} .$