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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.

ce qui se réduit, par les formules de l’article 6, à

$2d\mathrm {P} =\zeta '''d\zeta ''-\zeta ''d\zeta '''+\eta '''d\eta ''-\eta ''d\eta '''+\xi '''d\xi ''-\xi ''d\xi ''',$

et enfin, par les trois équations de condition de l’article 5 différentiées, à cette expression simple

$d\mathrm {P} =\xi '''d\xi ''+\eta '''d\eta ''+\zeta '''d\zeta ''\,;$

et l’on trouvera, de la même manière,

${\begin{aligned}d\mathrm {Q} =&\xi 'd\xi '''+\eta 'd\eta '''+\zeta 'd\zeta ''',\\d\mathrm {R} =&\xi ''d\xi '\ +\eta ''d\eta '\ +\zeta ''d\zeta '.\end{aligned}}$

Si l’on substitue pour $\xi ',\,\xi '',\,\xi ''',\ldots$ leurs valeurs en $\psi ,\,\omega ,\,\varphi$ de l’article 7, on a, après quelques réductions,

${\begin{aligned}d\mathrm {P} =&\sin \varphi \sin \omega d\psi +\cos \varphi d\omega ,\\d\mathrm {Q} =&\cos \varphi \sin \omega d\psi -\sin \varphi d\omega ,\\d\mathrm {R} =&d\varphi +\cos \omega d\psi .\end{aligned}}$

12. Il est facile de se convaincre que ces valeurs de ${\bar {a}},\,{\bar {b}},\,{\bar {c}}$ rendent également nulles les différentielles des coordonnées $\xi ,\,\eta ,\,\zeta \,;$ car, en différentiant et faisant $d\xi =0,\,d\eta =0,\,d\zeta =0$ dans les formules de l’article 1, changeant ensuite $a,\,b,\,c$ en ${\bar {a}},\,{\bar {b}},\,{\bar {c}},$ pour les rapporter à l’axe instantané de rotation, on a les trois équations

${\begin{aligned}{\bar {a}}d\xi '+{\bar {b}}d\xi ''\,+{\bar {c}}d\xi '''=&0,\\{\bar {a}}d\eta '+{\bar {b}}d\eta ''+{\bar {c}}d\eta '''=&0,\\{\bar {a}}d\zeta '+{\bar {b}}d\zeta ''+{\bar {c}}d\zeta '''=&0.\end{aligned}}$

En les ajoutant ensemble, après les avoir multipliées successivement par $\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',$ par $\xi '',\,\eta '',\,\zeta ''$ et par $\xi ''',\,\eta ''',\,\zeta ''',$ et ayant égard aux équations de condition de l’article 2, on a

${\begin{aligned}{\bar {b}}\left(\xi '\,d\xi ''+\eta '\,d\eta ''+\zeta '\ d\zeta ''\right)+{\bar {c}}\left(\xi '\ d\xi '''+\eta 'd\eta '''+\zeta '\ d\zeta '''\right)=0,\\{\bar {a}}\left(\xi ''d\xi '\,+\eta ''d\eta '\,+\zeta ''\,d\zeta '\right)+{\bar {c}}\left(\xi ''d\xi '''+\eta ''d\eta '''+\zeta ''d\zeta '''\right)=0,\\{\bar {a}}\left(\xi '''d\xi '+\eta '''d\eta '+\zeta '''d\zeta '\right)+{\bar {b}}\left(\xi '''d\xi ''+\eta '''d\eta ''+\zeta '''d\zeta ''\right)=0.\end{aligned}}$