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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\mathrm {P} =&\xi '\ \,d\mathrm {L} +\eta '\ \,d\mathrm {M} +\zeta '\ \,d\mathrm {N} ,\\d\mathrm {Q} =&\xi ''\ d\mathrm {L} +\eta ''\ d\mathrm {M} +\zeta ''\ d\mathrm {N} ,\\d\mathrm {R} =&\xi '''d\mathrm {L} +\eta '''d\mathrm {M} +\zeta '''d\mathrm {N} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39aaa72c7a8e18b2de2a9d360d0b86497e690ef1)
ce qui donne, par les équations de condition de l’article 5,
![{\displaystyle d\mathrm {P} ^{2}+d\mathrm {Q} ^{2}+d\mathrm {R} ^{2}=d\mathrm {L} ^{2}+d\mathrm {M} ^{2}+d\mathrm {N} ^{2}=d{\bar {\varphi }}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab300b5e23e26dcb43ff2ca4ffe810e46f399af1)
on aura
![{\displaystyle {\bar {a}}={\frac {d\mathrm {P} }{d{\bar {\varphi }}}},\qquad {\bar {b}}={\frac {d\mathrm {Q} }{d{\bar {\varphi }}}},\qquad {\bar {c}}={\frac {d\mathrm {R} }{d{\bar {\varphi }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292fc2e4d5bd30bdcbdf601cb0cd22d4b511b07b)
expressions entièrement semblables à celles des
dans lesquelles on voit que les quantités
[1] répondent aux quantités
Et ces valeurs de
seront pareillement les cosinus des angles que l’axe de rotation fait avec les axes des coordonnées ![{\displaystyle a,\,b,\,c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69c289154516997d66e721eeac3b457378e38bc3)
11. Pour avoir les valeurs de
exprimées par les variables
il ne s’agira que de substituer à la place de
les valeurs données dans l’article 8. Mais, pour obtenir les formules les plus simples, il conviendra de mettre ces dernières valeurs sous la forme suivante, qui est équivalente à celle de l’article cité en vertu des équations de condition données à l’article 5,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2d\mathrm {L} \ &=&\eta 'd\zeta '&+&\eta ''d\zeta ''&+&\eta '''d\zeta '''&-&\zeta 'd\eta '&-&\zeta ''d\eta ''&-&\zeta '''d\eta ''',\\2d\mathrm {M} &=&\zeta 'd\xi '&+&\zeta ''d\xi ''&+&\zeta '''d\xi '''&-&\xi 'd\zeta '&-&\xi ''d\zeta ''&-&\xi '''d\zeta ''',\\2d\mathrm {N} \,&=&\xi 'd\eta '&+&\xi ''d\eta ''&+&\xi '''d\eta '''&-&\eta 'd\xi '&-&\eta ''d\xi ''&-&\eta '''d\xi '''.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fda865f8d3b420ac776f90754ba01ed864f5552)
On aura ainsi, en substituant et ordonnant, les termes
![{\displaystyle {\begin{aligned}2d\mathrm {P} =&+(\xi '\eta ''-\eta '\xi '')d\zeta ''+(\xi '\eta '''-\eta '\xi ''')d\zeta '''\\&+(\zeta '\xi ''-\xi '\zeta '')d\eta ''+(\zeta '\xi '''-\xi '\zeta ''')d\eta '''\\&+(\eta '\zeta ''-\zeta '\eta '')d\xi ''+(\eta '\zeta '''-\zeta '\eta ''')d\xi '''\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb87516992829441fe18cc7159614d8879539e7)
- ↑ Il faut bien remarquer que Lagrange définit ici les quantités
sans s’inquiéter de savoir si les expressions auxquelles il donne ce nom sont intégrables, en sorte qu’il n’existe, en réalité, aucune fonction des variables actuelles qui puisse représenter
Cette remarque est essentielle pour l’intelligence de l’article 15, page 199.
(J. Bertrand.)