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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

grales en $r$ de leurs seconds membres, de manière qu’elles commencent au point où $r$ est un minimum, et que l’angle $\Phi$ commence aussi à ce point ; l’angle $k$ sera alors celui que le rayon qui passe par le même point fera avec la ligne d’intersection de l’orbite avec le plan fixe (art. 7) ; et cette constante $k,$ jointe à celle que l’intégration peut ajouter à $t$ et aux constantes $\mathrm {A,\,B,\,C,\,H} ,$ ou $\mathrm {D} ,\,i,\,h,\,\mathrm {H} ,$ complétera le nombre des six constantes arbitraires que l’intégration des trois équations différentielles en $x,\,y,\,z$ et $t$ doit donner.

13. Si maintenant on fait

$\mathrm {X} =r\cos \Phi ,\qquad \mathrm {Y} =r\sin \Phi ,$

il est clair que $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ seront les coordonnées rectangles de la courbe, placées dans son plan et ayant la même origine que le rayon $r,$ les abscisses $\mathrm {X}$ étant dirigées vers le point où $r$ est un minimum ; et si l’on substitue ces quantités dans les valeurs de $\xi$ et de $\eta$ l’article 11, on aura

$\xi =\mathrm {X} \cos k-\mathrm {Y} \sin k,\qquad \eta =\mathrm {Y} \cos k+\mathrm {X} \sin k.$

Substituons ces valeurs dans celles de $x,\,y,\,z$ du même article et faisons, pour abréger,

${\begin{aligned}\alpha \,\ =&+\cos k\cos h-\sin k\sin \,h\cos i,\\\beta \,\ =&-\sin \,k\cos h-\cos k\sin h\cos i,\\\alpha _{1}=&+\cos k\sin \,h+\sin \,k\cos h\cos i,\\\beta _{1}=&-\sin \,k\sin \,h+\cos k\cos h\cos i,\\\alpha _{2}=&\sin \,k\sin i,\\\beta _{2}=&\cos k\sin i\,;\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}x=&\alpha \,\ \mathrm {X+\beta \,\ Y} =r(\alpha \,\ \cos \Phi +\beta \,\ \sin \Phi ),\\y=&\alpha _{1}\mathrm {X+\beta _{1}Y} =r(\alpha _{1}\cos \Phi +\beta _{1}\sin \Phi ),\\z=&\alpha _{2}\mathrm {X+\beta _{2}Y} =r(\alpha _{2}\cos \Phi +\beta _{2}\sin \Phi ),\end{aligned}}$

expressions qui ont cet avantage, que les quantités dépendantes du mouvement dans l’orbite sont séparées des quantités qui dépendent uniquement de la position de l’orbite relativement au plan fixe des $xy.$