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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
Ajoutant leurs carrés ensemble et extrayant ensuite la racine, on a (art. 6)
![{\displaystyle {\frac {\xi d\eta -\eta d\xi }{dt}}=\mathrm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}} ={\frac {\mathrm {C} }{\cos i}}=\mathrm {D} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afbd0bb16c96d33a5d27e62ed2720dea08f71d15)
de sorte que les valeurs des constantes
seront
![{\displaystyle \mathrm {C=D} \cos i,\quad \mathrm {B=-D} \sin i\cos h,\quad \mathrm {A=D} \sin i\sin h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65e365e530b466ab0150b33e421f5cbb43c21ed)
Or, désignant par
comme dans l’article 7, l’angle que le rayon
fait avec la ligne d’intersection du plan de l’orbite et du plan fixe des
il est clair qu’on aura
![{\displaystyle \xi =r\cos(\Phi +k),\quad \eta =r\sin(\Phi +k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb6732274facdc6c72c36a6ace56eeded332031)
et la dernière des équations précédentes deviendra
![{\displaystyle r^{2}d\Phi =\mathrm {D} dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f18e3179cafe2309b3428719e1c8b54769156a9b)
laquelle donne le théorème connu des secteurs
proportionnels au temps ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Substituant la valeur de
on aura
![{\displaystyle d\Phi ={\frac {\mathrm {D} dr}{r^{2}{\sqrt {2\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-{\dfrac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855ac53fbcca389a9f8855dea8169106ef37b0b3)
comme dans l’article cité.
Ainsi le problème est de nouveau réduit à l’intégration des deux équations séparées en
et
que nous avions déjà trouvées ci-dessus (art. 6 et 7) ; mais cette intégration dépend de l’expression de la force centrale
en fonction du rayon
12. On voit, par ces équations, que ce rayon sera le plus grand ou le plus petit, soit relativement au temps
soit relativement à l’angle
lorsqu’il sera déterminé par l’équation
![{\displaystyle 2\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7c6c656c6aea7c31fa0e7f3a05a6c09186e118)
Supposons qu’en intégrant ces mêmes équations on prenne les inté-