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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

donne

$2r^{2}\left(\mathrm {H} -\int \mathrm {R} dr\right)-{\frac {r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {D} ^{2},$

d’où l’on tire tout de suite

$dt={\frac {dr}{\sqrt {2\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}}}}},$

comme dans l’article 6.

Les mêmes équations, étant ajoutées ensemble, après avoir multiplié la première par $z,$ la deuxième par $y$ et la troisième par $x,$ donnent celle-ci

$\mathrm {C} z+\mathrm {B} y+\mathrm {A} x=0,$

laquelle est à un plan passant par l’origine des coordonnées et fait voir que l’orbite décrite par le corps est une courbe plane décrite autour du centre des forces.

11. Nommons $\xi ,\eta$ les coordonnées rectangles de cette courbe, l’axe des $\xi$ étant pris dans la ligne d’intersection du plan de la courbe avec celui des $xy\,;$ nommons de plus, comme dans l’article 5, $i$ l’angle formé par ces deux plans, et $h$ l’angle que la même ligne d’intersection fait avec l’axe des $x\,;$ ces deux quantités $i$ et $h$ seront constantes, et, par les formules connues de la transformation des coordonnées, on aura

${\begin{aligned}x=&\xi \cos h-\eta \cos i\sin h,\\y=&\xi \sin \,h+\eta \cos i\cos h,\\z=&\eta \sin i.\end{aligned}}$

Ces valeurs, étant substituées dans les mêmes équations, donneront celles-ci :

${\begin{aligned}&{\frac {\xi d\eta -\eta d\xi }{dt}}\cos i=\mathrm {C} ,\\&{\frac {\eta d\xi -\xi d\eta }{dt}}\sin i\cos h=\mathrm {B} ,\\&{\frac {\xi d\eta -\eta d\xi }{dt}}\sin i\sin h=\mathrm {A} ,\end{aligned}}$