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SECONDE PARTIE. — SECTION VIII.

elle devient

${\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}-{\frac {\mathrm {C} ^{2}\cos \psi }{\sin \psi ^{3}}}+{\frac {\mathrm {g} }{r}}\sin \psi =0,$

dont l’intégrale, après l’avoir multipliée par $2d\psi ,$ est

${\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {C} ^{2}}{\sin ^{2}\psi }}-2{\frac {\mathrm {g} }{r}}\cos \psi =\mathrm {E} ,$

$\mathrm {C}$ et $\mathrm {E}$ étant deux constantes qui dépendent de l’état initial.

Cette dernière intégrale donne tout de suite

$dt={\frac {\sin \psi d\psi }{\sqrt {\left(\mathrm {E} +2{\cfrac {\mathrm {g} }{r}}\cos \psi \right)\sin ^{2}\psi -\mathrm {C} ^{2}}}}\,;$

et, comme on a par la première $d\varphi ={\frac {\mathrm {C} dt}{\sin ^{2}\psi }},$ on aura

$d\varphi ={\frac {\mathrm {C} d\psi }{\sin \psi {\sqrt {\left(\mathrm {E} +{\cfrac {2\mathrm {g} }{r}}\cos \psi \right)\sin ^{2}\psi -\mathrm {C} ^{2}}}}},$

équations séparées, mais dont les seconds membres ne sont intégrables que par la rectification des sections coniques.

L’équation en $t$ et $\psi$ donnera le temps que le pendule emploie à parcourir verticalement l’angle $\psi \,;$ et l’équation en $\varphi$ et $\psi$ donnera la courbe décrite par le corps qui forme le pendule, laquelle sera une espèce de spirale sphérique. Si l’on fait $r\sin \psi =\rho ,$ on aura une équation qui sera celle de la projection de cette spirale sur le plan horizontal, entre le rayon vecteur $\rho$ et l’angle $\varphi$ décrit par ce rayon autour de la verticale.

16. Si l’on égale à zéro la quantité sous le signe, on a l’équation

$\left(\mathrm {E} +{\cfrac {2\mathrm {g} }{r}}\cos \psi \right)\sin ^{2}\psi -\mathrm {C} ^{2}=0,$

laquelle donnera les plus grandes et les plus petites valeurs de l’angle d’inclinaison $\psi .$ Cette équation, à cause de $\sin ^{2}\psi =1-\cos ^{2}\psi ,$ est du