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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

verticale, et le second sera l’angle que le pendule décrit en tournant autour de la verticale. On aura ainsi

$x=r\sin \psi \cos \varphi ,\qquad y=r\sin \psi \sin \varphi ,\qquad z=r\cos \psi ,$

et la quantité $\mathrm {T}$ deviendra, à cause de $r$ constant,

$\mathrm {T} ={\frac {r^{2}\left(\sin ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)}{2dt^{2}}}.$

Il est bon d’observer que l’angle $\psi$ que nous employons ici est le complément à $90^{\circ }$ de l’angle $\psi$ que nous avons employé jusqu’ici, et qui représentait l’inclinaison du rayon $r$ sur le plan horizontal, au lieu qu’ici il représente son inclinaison à la verticale.

La force $\mathrm {R}$ tendant au centre des rayons $r$ sera nulle ; la force $\mathrm {Q}$ pourra être prise pour la gravité, que nous désignerons par $\mathrm {g} \,;$ et, comme elle doit agir parallèlement à l’ordonnée $z,$ et pour augmenter cette ordonnée, au lieu que la force $\mathrm {Q}$ est censée agir pour diminuer la distance $q,$ il faudra faire

$dq=-dz=-d(r\cos \psi ),$

en supposant le centre de cette force éloigné à l’infini. Ainsi l’on aura simplement

$\delta \mathrm {V} =-\mathrm {g} \delta r\cos \psi =\mathrm {g} r\sin \psi \delta \psi .$

Les équations relatives à $\psi$ et $\varphi$ deviendront donc, en les divisant par $r^{2},$

${\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}-{\frac {\sin \psi \cos \psi d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {g} }{r}}\sin \psi =0,$

La seconde de ces équations a pour intégrale

${\frac {\sin ^{2}\psi d\varphi }{dt}}=\mathrm {C} ,$

et, la valeur de $d\varphi$ tirée de celle-ci étant substituée dans la première,