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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

trois équations intégrables et dont les intégrales sont

${\begin{aligned}{\frac {xdy-ydx}{dt}}=\mathrm {C} ,\\{\frac {zdx-xdz}{dt}}=\mathrm {B} ,\\{\frac {ydz-zdy}{dt}}=\mathrm {A} ,\end{aligned}}$

$\mathrm {C,\,B,\,A}$ étant des constantes arbitraires dont la première est la même que celle de l’équation

${\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi }{dt}}=\mathrm {C}$

de l’article 5, parce qu’en effet celle-ci n’est qu’une transformée de l’équation

${\frac {xdy-ydx}{dt}}=\mathrm {C}$

par la substitution des valeurs de $x,y,z$ de l’article 4.

Ces trois intégrales répondent à celles que nous avons données pour un système de corps, dans l’article 9 de la Section III, d’où nous aurions pu les emprunter.

10. En ajoutant ensemble les carrés des trois dernières équations et employant cette réduction connue

${\begin{aligned}&(xdy-ydx)^{2}+(zdx-xdz)^{2}+(ydz-zdy)^{2}\\&\quad =\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)-(xdx+ydy+zdz)^{2},\end{aligned}}$

on a l’équation

${\frac {r^{2}\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)-r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}} ,$

laquelle, en y substituant pour $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ sa valeur tirée de la première intégrale, et faisant, pour abréger,

$\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}=D^{2}} ,$