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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

du temps $t,$ et désignant par $\delta$ leurs variations résultantes des variations de ces constantes, il est clair qu’on a

$\delta \xi =0,\quad \delta \psi =0,\quad \delta \varphi =0,\quad \delta \xi '={\dot {\xi }},\quad \delta \psi '={\dot {\psi }},\quad \delta \varphi '={\dot {\varphi }},\quad \ldots ,$

et comme les différences partielles ${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial {\dot {\xi }}}},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial {\dot {\psi }}}},\ldots$ ne contiennent que les premières dimensions de ${\dot {\xi }},\,{\dot {\psi }},\,{\dot {\varphi }},\ldots ,$ il est facile de voir qu’elles peuvent se réduire à $\delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \xi '}},\ \delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \psi '}},\ \ldots ,$ en regardant $\mathrm {T}$ comme fonction de $\xi ',\psi ',$ $\varphi ',\ldots .$ Ainsi, les équations dont il s’agit deviendront

$\delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \xi '}}={\frac {\delta \Omega }{\delta \xi }}dt,\quad \delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \psi '}}={\frac {\delta \Omega }{\delta \psi }}dt,\quad \delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi '}}={\frac {\delta \Omega }{\delta \varphi }}dt,\quad \ldots ,$

et l’on aura

$da={\frac {\partial a}{\partial \xi '}}\delta \xi '+{\frac {\partial a}{\partial \psi '}}\delta \psi '+{\frac {\partial a}{\partial \varphi '}}\delta \varphi '+\ldots ,$

où il faudra substituer les valeurs de $\delta \xi ',\,\delta \psi ',\,\delta \varphi ',\ldots ,$ tirées de ces équations.

Si l’on change ensuite les différences partielles de $\Omega$ relatives à $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ en différences partielles relatives aux constantes $a,\,b,\,c,\ldots ,$ on parviendra à des formules semblables à celles de l’article 60 de la Section précédente, dans lesquelles les coefficients de ${\frac {\partial \Omega }{\partial a}},\,{\frac {\partial \Omega }{\partial b}},\ldots$ auront la propriété d’être indépendants du temps $t\,;$ mais la démonstration directe de cette propriété singulière devient très difficile, comme on peut le voir dans le beau Mémoire de M. Poisson sur ce sujet, inséré dans le Tome VIII du Journal de l’École Polytechnique, et l’on ne se serait peut-être jamais avisé de la chercher si l’on n’avait été assuré d’avance de la vérité de ce théorème^[1].

Comme j’ai déjà donné, dans la Section V, une théorie complète des

1. Voir la Note VII à la fin du I^er Volume. Les coefficients de ${\frac {\partial \Omega }{\partial a}},\,{\frac {\partial \Omega }{\partial b}},\ldots$ sont précisément les expressions considérées dans cette Note. On prouve facilement qu’ils sont constants, mais Lagrange a raison de faire observer qu’on se serait difficilement avisé de les chercher a priori. (J. Bertrand.)