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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

plan de l’orbite, et dont l’origine est à la ligne d’intersection de ce plan avec celui des $xy$ ; que $\varphi -h$ est l’angle décrit par la projection de ce rayon sur le même plan, et que $i$ est l’inclinaison du plan de l’orbite sur le plan fixe des $xy.$

8. Le problème est donc résolu, puisqu’il ne dépend plus que de l’intégration des deux équations séparées entre $t,\,\Phi$ et $r\,;$ les six constantes arbitraires nécessaires pour l’intégration complète des trois équations différentielles en $r,\varphi$ et $\psi$ seront $i,\,h,\,\mathrm {D,H}$ et les deux que l’intégration introduira dans les valeurs de $t$ et de $\Phi .$

Dans la solution que nous venons de donner, nous avons pris pour coordonnées le rayon vecteur avec les deux angles de longitude et de latitude, pour nous conformer à l’usage des astronomes ; aussi cette solution a-t-elle l’avantage d’offrir directement la plupart des théorèmes que l’on ne trouve ordinairement que par la Trigonométrie sphérique. Mais, en l’envisageant du côté analytique, elle est moins simple que si l’on avait conservé les coordonnées rectangles primitives ; c’est ce qu’il est bon de faire voir, d’autant qu’il en résultera de nouvelles formules qui pourront être utiles par la suite.

9. En prenant $x,\,y,\,z$ pour les trois variables indépendantes, les formules générales de l’article 3 donnent tout de suite les trois équations différentielles

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {R} {\frac {x}{r}}=&0,\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {R} {\frac {y}{r}}=&0,\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {R} {\frac {z}{r}}=&0,\end{aligned}}$

et l’équation intégrale

${\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2dt^{2}}}+\int \mathrm {R} dr=\mathrm {H} .$

En chassant $\mathrm {R}$ des trois équations différentielles, on a immédiatement