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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

rayon $r$ décrit dans le plan de l’orbite. Donc, si l’on désigne en général cet angle par $d\Phi ,$ on aura

$d\Phi ={\frac {\mathrm {D} dt}{r^{2}}},$

et, substituant la valeur de $dt$ en $dr,$

$d\Phi ={\frac {\mathrm {D} dr}{r^{2}{\sqrt {2\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-{\dfrac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}}}}}},$

équation dont l’intégrale donnera la valeur de $\Phi$ en $r,$ et réciproquement celle de $r$ en $\Phi .$

Ensuite on aura $\varphi$ en $\Phi$ par l’équation

$d\Phi ={\frac {\cos ^{2}\psi d\varphi }{\cos i}},$

laquelle, en substituant pour $\cos \psi$ sa valeur tirée de l’équation

$\operatorname {tang} \psi =\operatorname {tang} i\sin(\varphi -h)$

trouvée plus haut, devient

$d\Phi ={\frac {d\varphi }{\cos i\left[1+\operatorname {tang} ^{2}i\sin ^{2}(\varphi -h)\right]}}={\frac {\cos id\operatorname {tang} (\varphi -h)}{\cos ^{2}i+\operatorname {tang} ^{2}(\varphi -h)}}\,;$

d’où l’on tire par l’intégration

$\Phi +k=\operatorname {arc\,\operatorname {tang} } {\frac {\operatorname {tang} (\varphi -h)}{\cos i}},$

$k$ étant une constante arbitraire ; et de là

$\operatorname {tang} (\varphi -h)=\cos i\operatorname {tang} (\Phi +k),$

équation qui indique que $\Phi +k$ est l’hypoténuse du même triangle sphérique rectangle dont la base est $\varphi -h$ et l’angle adjacent $i$ (art. 5), et dont le côté opposé à $i$ est $\psi .$

On voit par là que $\Phi +k$ est l’angle décrit par le rayon $r$ dans le