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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
Supposons
constant ; on aura, en intégrant,
![{\displaystyle t={\frac {{\sqrt {\mathrm {A} }}-{\sqrt {a}}}{\Gamma {\sqrt {\mathrm {g} }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e02afba121fe2d38422dc2ddadf5d3d1270b03a)
étant la valeur de
lorsque
donc
![{\displaystyle a=\left({\sqrt {\mathrm {A} }}-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {g} }}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9312f0f943e6d93bdc1fe4a0a80a99fc12492cf)
et la valeur de
deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}u={\sqrt {g}}\int {\frac {dt}{\left({\sqrt {\mathrm {A} }}-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {g} }}\right)^{3}}}&={\frac {1}{2\Gamma }}\left[{\frac {1}{\left({\sqrt {\mathrm {A} }}-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {g} }}\right)^{2}}}-{\frac {1}{\mathrm {A} }}\right]\\&={\frac {t\mathrm {\sqrt {\cfrac {g}{A^{3}}}} -\Gamma t^{2}\mathrm {\cfrac {g}{2A^{2}}} }{\left(1-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {\cfrac {g}{A}} }}\right)^{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/926c0f0758252526819a21431182bcc2ec73ab5f)
où le coefficient
doit être supposé très petit.
115. Pour avoir la variation séculaire de l’excentricité
il faudra substituer, dans les expressions irrationnelle
et
de la valeur de
l’expression de
en
et ne retenir dans le développement que les termes constants. Or, en ne conservant que les secondes dimensions de
on a, par l’article 21,
![{\displaystyle r=a\left(1-e\cos u+{\frac {e^{2}}{2}}-{\frac {e^{2}}{2}}\cos 2u\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ede5f679706f3c4e337abbba77d737bc28b0c27)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r}}=&{\frac {1}{a}}\left(1+e\cos u+e^{2}\cos 2u\right),\\{\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}}}=&{\frac {1}{\sqrt {a}}}\left(1+e\cos u-{\frac {e^{2}}{4}}+{\frac {3e^{2}}{4}}\cos 2u\right),\\\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}=&{\frac {1}{\sqrt {a^{3}}}}\left(1+3e\cos u+{\frac {3}{4}}e^{2}+{\frac {15}{4}}e^{2}\cos 2u\right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6803935a47150958d5bf3e3c918546d9dfa617cf)
par conséquent, en rejetant les
et
[1], on aura
![{\displaystyle de=-\Gamma {\sqrt {\mathrm {g} }}\left(1-e^{2}\right)e{\frac {dt}{\sqrt {a}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6919dee24bfd83fcbecd8e328b54271e0936725)
- ↑ Qui sont des termes périodiques. (J. Bertrand.)