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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

$\varphi$ sera la longitude sur l’écliptique, $\psi$ la latitude ; $h$ la longitude du nœud de l’orbite et $i$ son inclinaison.

6. Prenons maintenant l’intégrale

${\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)+dr^{2}}{dt^{2}}}+2\int \mathrm {R} dr=2\mathrm {H} \,;$

en y substituant pour $d\psi$ sa valeur en $d\varphi$ trouvée ci-dessus, elle devient

${\frac {r^{2}\cos ^{4}\psi d\varphi ^{2}}{\cos ^{2}idt^{2}}}+{\frac {dr^{2}}{dt^{2}}}+2\int \mathrm {R} dr=2\mathrm {H} ,$

laquelle doit être combinée avec l’autre intégrale

${\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi }{dt}}=\mathrm {C} .$

Si l’on y substitue la valeur de $d\varphi$ tirée de celle-ci et qu’on fasse

${\frac {\mathrm {C} }{\cos i}}=\mathrm {D} ,$

on aura l’équation

${\frac {dr^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}}+2\int \mathrm {R} dr=2\mathrm {H} ,$

d’où l’on tire

$dt={\frac {dr}{\sqrt {2\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-{\dfrac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}}}}}.$

En intégrant cette équation, on aura l’expression de $t$ en $r,$ et réciproquement celle de $r$ en $t.$

7. On aura ensuite $\varphi$ par l’équation

$d\varphi ={\frac {\mathrm {D} \cos idt}{r^{2}\cos ^{2}\psi }}\,;$

or, comme le plan des angles $\varphi$ est arbitraire, si on le fait coïncider avec le plan de l’orbite, en faisant $i=0,$ on aura aussi $\psi =0$ (art. 5), par conséquent $d\varphi ={\frac {\mathrm {D} dt}{r^{2}}},$ et, dans ce cas, l’angle $d\varphi$ sera celui que le