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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
Les intégrales que nous venons de trouver donnent
![{\displaystyle \mathrm {M} p''=b-\mathrm {N} p',\quad \mathrm {M} q''=b-\mathrm {N} q',\quad \mathrm {M} y=f-\mathrm {N} x,\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e13893b487f04ccc9468ecdf1cced17273721a1)
ces valeurs étant substituées dans les trois équations
![{\displaystyle {\frac {dp'}{dt}}+\mathrm {M} (q'y-q''x)=0,\quad {\frac {dq'}{dt}}-\mathrm {M} (p'y-p''x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d6302e0a370f340759e53d1c9287e46abbb8042)
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}+\mathrm {M} (p'q''-q'p'')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6ff09395e9d21cf45345a209b76e1d13ff5d4d)
on obtient les équations suivantes
![{\displaystyle {\frac {dp'}{dt}}+fq'-cx=0,\quad {\frac {dq'}{dt}}-fp'+bx=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f70d6fc8750ea751c719f4ae0bf750c5d82dd4)
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}+cp'-bq'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1d72e25ecd13a53ad201a7e1b501eaf60c3969)
qui, étant linéaires et à coefficients constants, sont toujours intégrables.
On aura de pareilles équations en changeant
en
mais, lorsqu’on connaîtra les trois premières de ces quantités, on aura les trois dernières par les trois intégrales précédentes.
Les expressions de
en
contiendront trois constantes arbitraires, et, comme les constantes
sont aussi arbitraires, on aura en tout six constantes arbitraires, mais qui se réduiront à quatre, pour satisfaire aux équations supposées
![{\displaystyle p'^{2}+q'^{2}+x^{2}=1,\quad p''^{2}+q''^{2}+y^{2}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded50fb55b01aba65d4bc0122a0067eb155d2572)
on aura ainsi les valeurs complètes des quatre variables
qui donnent la position des deux orbites dans l’espace.
Mais notre analyse est fondée sur la supposition que l’inclinaison mutuelle des deux orbites soit très petite ; le cosinus de cette inclinaison est exprimé par la formule (art. 107)
![{\displaystyle xy+p'p''+q'q'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0818d1f9af696ca80c66021cb121010369a0955c)
dont la différentielle devient égale à zéro, d’après les équations différentielles ci-dessus ; cette quantité sera donc égale à une constante,