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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

précédente, on aura

$u=\mathrm {K} \cos(\mu t+k),$

$\mathrm {K}$ et $k$ étant deux constantes arbitraires qu’il faudra déterminer par l’état initial ; et, comme $\sin \alpha$ et $\sin \beta$ sont, par hypothèse, des quantités très petites, $\mathrm {K}$ aura aussi une valeur très petite.

De là on aura, par l’intégration, les valeurs de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ qui ne contiendront $t$ que dans $\sin(\mu t+k),$ et qui, étant une fois très petites, le seront toujours nécessairement, de sorte que la solution sera toujours bonne.

On connaîtra donc ainsi les inclinaisons réciproques des orbites pour un temps quelconque, mais on ne connaîtra pas encore par là leurs positions absolues dans l’espace, lesquelles dépendent des angles $h',\,h'',\ldots$ $i',\,i'',\ldots \,;$ c’est pourquoi il est plus simple de chercher directement ces angles par l’intégration des formules de l’article 104.

107. Mais, au lieu d’employer ces équations sous la forme où elles se présentent, il sera plus avantageux de les transformer par les substitutions de l’article 78, en faisant

${\begin{array}{lll}p'=\sin i'\sin h',&p''=\sin i''\sin h'',&\ldots ,\\q'=\sin i'\cos h',&q''=\sin i''\cos h'',&\ldots \,;\end{array}}$

on aura ainsi, en accentuant les lettres $p,q,$ pour les rapporter successivement aux planètes $\mathrm {m',\,m} '',\ldots$ et mettant la fonction \frac{\Psi}{\mathrm m} à la place de $(\Omega )$ (art. 104),

${\begin{alignedat}{2}{\frac {dp'}{dt}}=&{\frac {\sqrt {1-p'^{2}q'^{2}}}{\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}{\frac {\partial \Psi }{\partial q'}},\qquad &{\frac {\partial q'}{\partial t}}=&-{\frac {\sqrt {1-p'^{2}q'^{2}}}{\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}{\frac {\partial \Psi }{\partial p'}},\\{\frac {dp''}{dt}}=&{\frac {\sqrt {1-p''^{2}q''^{2}}}{\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}{\frac {\partial \Psi }{\partial q''}},\qquad &{\frac {\partial q''}{\partial t}}=&-{\frac {\sqrt {1-p''^{2}q''^{2}}}{\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}{\frac {\partial \Psi }{\partial p''}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

La fonction $\Psi$ sera, comme dans l’article cité,

${\begin{aligned}\Psi =&-{\frac {1}{4}}m'm''\,a'a''\,[a',a''\ ]_{1}\left(1-\cos \mathrm {I} ''_{_{'}}\right)\\&-{\frac {1}{4}}m'm'''a'a'''[a',a''']_{1}\left(1-\cos \mathrm {I} '''_{_{'}}\right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$