146
MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
en faisant
![{\displaystyle \mathrm {C} ={\frac {\mathrm {m} '''}{4}}\left({\frac {a'a'''[a'a''']_{1}}{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}-{\frac {a''a'''[a''a''']_{1}}{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab078144de343589284a754bc159263e4f66fa4)
Dans ces équations, les trois coefficients
sont constants ; ainsi il n’y a de variable que la quantité
qui est fonction des trois cosinus de
c’est-à-dire des inclinaisons respectives des orbites
ainsi on pourra déterminer leurs valeurs en fonction de
Si l’on ajoute ensemble ces trois équations, après avoir multiplié la première par
la seconde par
la troisième par
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {m''m} '''a''a'''[a'',a''']_{1}d\cos \gamma &-\mathrm {m'm} '''a'a'''[a',a''']_{1}d\cos \beta \\&+\mathrm {m'm} ''\ a'a''\ [a',a''\ ]_{1}d\cos \alpha \\=-\mathrm {m''m} '''a''a'''[a'',a''']_{1}\mathrm {A} udt\ \ &+\mathrm {m'm} '''\,a'a'''[a',a''']_{1}\mathrm {B} udt\\&-\mathrm {m'm} ''\ a'a''\ [a',a''\ ]_{1}\mathrm {C} udt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c654e29ad19b268a7a3927f9b4403be6469751)
Or, en substituant les valeurs de
on voit que le second membre se réduit à zéro, par la destruction mutuelle de tous les termes, et, le premier membre étant intégrable, on a, en remettant pour
leurs valeurs ![{\displaystyle \mathrm {I} ''_{_{'}},\,180^{\circ }-\mathrm {I} '''_{_{'}},\,\mathrm {I} '''_{_{''}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6639337923c191d1222fa547dc58aee232eab605)
![{\displaystyle {\begin{aligned}m''m'''a''a'''[a'',a''']_{1}\cos \mathrm {I} '''_{_{''}}&+m'm'''a'a'''[a',a''']_{1}\cos \mathrm {I} '''_{_{'}}\\&+m'm''\ a'a''\ [a',a''\ ]_{1}\cos \mathrm {I} ''_{_{'}}=\mathrm {const} .,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/334f3810629bc2c21cce5ec2f7ef3e80883333b2)
équation qui s’accorde, dans le cas de trois orbites, avec l’intégrales
trouvée plus haut (art. 104).
Si l’on fait, pour plus de simplicité,
![{\displaystyle \cos \alpha =x,\quad \cos \beta =y,\quad \cos \gamma =z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11738c49c832bbc0e63115321908998c92abb59)
on a les trois équations
![{\displaystyle dx=-\mathrm {C} udt,\quad dy=-\mathrm {B} udt,\quad dz=-\mathrm {A} udt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bfe6e392516c98b043642fcc15576f66cbc1c04)
![{\displaystyle u={\sqrt {1-x^{2}-y^{2}-z^{2}-2xyz}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42bbeafd89643a0e614799294a2c7382a4f1a710)
La première, combinée avec la seconde et avec la troisième, donne, par l’élimination de ![{\displaystyle u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30dcc93e14b40416ed2d1391bc6c08ee99fa5ff6)
![{\displaystyle dy=\mathrm {\frac {B}{C}} dx,\quad dz=\mathrm {\frac {A}{C}} dx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/615e954a9b7057189b78b0e00a580434c8aa7254)