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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
Or, dans un triangle sphérique dont les angles sont
et dont le côté adjacent à
et
et par conséquent opposé à
est
on a
![{\displaystyle \cos \gamma =\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f38e623a22705733383752111b235cd98c6c388)
Donc, faisant varier
de
on aura
![{\displaystyle d\cos \gamma =-\sin \alpha \sin \beta \sin c\mathrm {A} dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf35f395905141e2094ad2cb63f82d66ffdc97c)
Mais la même équation donne
![{\displaystyle \cos c={\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94cf53fb7f9b9c1be96f2ad5e13efcefc47e94e)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin c&={\frac {\sqrt {\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta -(\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta )^{2}}}{\sin \alpha \sin \beta }}\\&={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma -2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}{\sin \alpha \sin \beta }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7320a04098e9706c359a71d5be4acbf5b92ffc3f)
Faisons, pour abréger,
![{\displaystyle u={\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma -2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}=\sin \alpha \sin \beta \sin c\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4a299d04818d9bd9efa500bd2a6a14b6337733)
on aura
![{\displaystyle d\cos \gamma =-\mathrm {A} udt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e1d5b9dfa83653fa4f030acec19f775755ed30c)
On trouvera de la même manière, en considérant la rétrogradation des orbites de
et de
sur celle de
laquelle augmente le côté adjacent aux angles
et par conséquent opposé à l’angle
de la quantité élémentaire
en faisant
![{\displaystyle \mathrm {B} ={\frac {\mathrm {m} ''}{4}}\left({\frac {a'a''[a'a'']_{1}}{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}-{\frac {a''a'''[a''a''']_{1}}{\sqrt {\mathrm {g} '''a'''}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc83cb5fbab7ae73b8d1dff825c70ec7125dcc2a)
tandis que les angles
et
demeurent constants,
![{\displaystyle d\cos \beta =-\mathrm {B} udt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a464544aa95a6c059f783c644de15051572a90)
parce que la quantité
est une fonction symétrique des trois cosinus.
Enfin la rétrogradation des orbites de
et
sur celle de
donnera aussi
![{\displaystyle d\cos \alpha =-\mathrm {C} udt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6cf6a9cfa619437c466ffe820a4ab9b32f9c35)