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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

qu’on peut aussi démontrer directement par l’intégration de la même équation. Car, en y substituant pour $dt$ sa valeur tirée de la première intégrale, elle devient

${\frac {\mathrm {C} ^{2}d\psi ^{2}}{\cos ^{4}\psi d\varphi ^{2}}}+{\frac {\mathrm {C} ^{2}}{\cos ^{2}\psi }}=\mathrm {E} ^{2}.$

Soit, lorsque $\psi =0,\ {\frac {d\psi }{d\varphi }}=\operatorname {tang} i\,;$ on aura

$\mathrm {E^{2}=C^{2}+C^{2}} \operatorname {tang} ^{2}i={\frac {\mathrm {C} ^{2}}{\cos ^{2}i}},$

et la dernière équation se changera en

${\frac {d\psi ^{2}}{\cos ^{4}\psi d\varphi ^{2}}}={\frac {1}{\cos ^{2}i}}-{\frac {1}{\cos ^{2}\psi }}=\operatorname {tang} ^{2}i-\operatorname {tang} ^{2}\psi ,$

d’où l’on tire

$d\varphi ={\frac {d\psi }{\cos ^{2}\psi {\sqrt {\operatorname {tang} ^{2}i-\operatorname {tang} ^{2}\psi }}}},$

équation séparée dont l’intégrale est

$\varphi -h=\operatorname {arc\,sin} {\frac {\operatorname {tang} \psi }{\operatorname {tang} i}}$

ou bien

$\operatorname {tang} \psi =\operatorname {tang} i\sin(\varphi -h),$

$h$ étant la valeur de $\varphi$ lorsque $\psi =0.$

Cette équation fait voir que $\varphi -h$ et $\psi$ sont les deux côtés d’un triangle sphérique rectangle dans lequel $i$ est l’angle opposé au côté $\psi .$ Ainsi, puisque l’arc $\varphi -h$ est pris sur le plan des $xy,$ et que l’arc $\psi$ est toujours perpendiculaire à ce même plan, il s’ensuit que l’arc qui joint ces deux-ci, et qui forme l’hypoténuse du triangle, fera avec la base $\varphi -h$ l’angle constant $i\,;$ par conséquent, cet arc passera par les extrémités de tous les arcs, et tous les rayons $r$ se trouveront dans le plan du même arc, lequel sera ainsi le plan de l’orbite du corps, dont l’inclinaison sur le plan des $xy$ sera l’angle constant $i$ et dont l’intersection avec ce même plan fera avec l’axe des $x$ l’angle $h.$

Si, pour fixer les idées, on prend le plan des $xy$ pour l’écliptique,