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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
quement par rapport à
et ensuite par rapport à
l’équation identique
![{\displaystyle \left(a'^{2}-2a'a''\cos \varphi +a''^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}=(a',a'')+(a',a'')_{1}\cos \varphi +(a',a'')_{2}\cos 2\varphi +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d65eba0efcb1536f544a719e8093d423d9d5ee4)
et qu’après avoir multiplié en croix, on compare les termes multipliés par les mêmes cosinus, on aura d’abord
![{\displaystyle 3a'a''(a',a'')_{2}=-2a'a''(a',a'')+2\left(a'^{2}+a''^{2}\right)(a',a'')_{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7770595b8a741224070ceb7cf6843f377a7be1)
ensuite les différentielles relatives à
et
donneront
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (a',a'')}{\partial a'}}\ =&{\frac {a'(a',a'')-a''(a',a'')_{1}}{\left(a''^{2}-a'^{2}\right)}},\\{\frac {\partial (a',a'')_{1}}{\partial a'}}=&{\frac {a'a''(a',a'')-a''^{2}(a',a'')_{1}}{a'\left(a''^{2}-a'^{2}\right)}},\\{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{\partial a'^{2}}}=&{\frac {4a'^{3}(a',a'')+a''\left(a''^{2}-3a'^{2}\right)(a',a'')_{1}}{a'\left(a''^{2}-a'^{2}\right)^{2}}},\\{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{\partial a'\partial a''}}=&{\frac {-2\left(a'^{2}+a''^{2}\right)+2a'a''(a',a'')_{1}}{a'\left(a''^{2}-a'^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/399ecf38fa4a8545db45e843be80216f60ca9db2)
Substituant ces valeurs, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}((a',a''))=&{\frac {4a'^{2}a''^{2}(a',a'')-a'a''\left(a'^{2}+a''^{2}\right)(a',a'')_{1}}{8\left(a''^{2}-a'^{2}\right)^{2}}},\\\left[(a',a'')\right]=&{\frac {-a'a''\left(a'^{2}+a''^{2}\right)(a',a'')+\left(a'^{2}+a''^{2}-a'a''\right)(a',a'')_{1}}{2\left(a''^{2}-a'^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1019d30b1c5077005b3058c8f6d6604aedca997b)
Mais on peut avoir des expressions plus simples de ces fonctions, en employant les coefficients de la série
![{\displaystyle \left(a'^{2}-2a'a''\cos \varphi +a''^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}=[a',a'']+[a',a'']_{1}\cos \varphi +\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ffda631c0cf7836cf79c43888d5b21bbc66d76)
car, en différentiantlogarithmiquement et multipliant ensuite en croix, on trouve d’abord, comme ci-dessus,
![{\displaystyle a'a''[a',a'']_{2}=2\left(a'^{2}+a''^{2}\right)[a',a'']_{1}-6a'a''[a',a'']\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c95aac26e469b79d283878b1e04854aa5cce82b6)
substituant cette valeur de
et comparant la série multipliée par
avec la série ![{\displaystyle (a',a'')+(a',a'')_{1}\cos \varphi +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7719ab6640a27d3afc994737be0ed5e61474836)