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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

donnera tout de suite cette première intégrale

${\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)+dr^{2}}{dt^{2}}}+2\int \mathrm {R} dr=2\mathrm {H} ,$

dans laquelle $\mathrm {H}$ est une constante arbitraire.

5. La dernière des trois équations différentielles est intégrale d’elle-même ; son intégrale est

${\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi }{dt}}=\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ étant une constante arbitraire ; et la seconde devient intégrable en y substituant pour ${\frac {d\varphi }{dt}}$ sa valeur ${\frac {\mathrm {C} }{r^{2}\cos ^{2}\psi }},$ tirée de celle-ci, et en la multipliant par $2r^{2}d\psi \,;$ l’intégrale est

${\frac {r^{4}d\psi ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {C} ^{2}}{\cos ^{2}\psi }}=\mathrm {E} ^{2},$

$\mathrm {E}$ étant une nouvelle constante arbitraire.

Je remarque d’abord sur cette intégrale que, si l’on suppose que $\psi$ et ${\frac {d\psi }{dt}}$ soient nuls à la fois dans un instant, ils seront toujours nécessairement nuls ; car, en faisant pour un instant $\psi =0$ et ${\frac {d\psi }{dt}}=0,$ la dernière équation donne $\mathrm {C^{2}=E^{2}} ,$ et elle devient, par la substitution de $\mathrm {C} ^{2}$ au lieu de $\mathrm {E} ^{2},$

${\frac {r^{4}d\psi ^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {C} ^{2}\operatorname {tang} ^{2}\psi =0,$

laquelle ne peut avoir lieu qu’en faisant

$\psi =0,\quad {\frac {d\psi }{dt}}=0.$

La supposition dont il s’agit revient à faire en sorte que le corps se meuve dans un instant dans le plan des $xy,$ ce qui est toujours possible, puisque la position de ce plan est arbitraire ; alors le corps continuera de se mouvoir dans le même plan et décrira nécessairement une orbite plane, c’est-à-dire une ligne à simple courbure. C’est ce