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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

peuvent se développer en séries de cosinus d’angles multiples de $\Phi \,;$ ainsi l’on peut supposer

${\begin{aligned}&(\rho '^{2}+\rho ''^{2}-2\rho '\rho ''\cos \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\\&\quad =(\rho ',\rho '')+(\rho ',\rho '')_{1}\cos \varphi +(\rho ',\rho '')_{2}\cos 2\varphi +(\rho ',\rho '')_{3}\cos 3\varphi +\ldots ,\\&(\rho '^{2}+\rho ''^{2}-2\rho '\rho ''\cos \varphi )^{-{\frac {3}{2}}}\\&\quad =[\rho ',\rho '']\ +[\rho ',\rho '']_{1}\cos \varphi \ +[\rho ',\rho '']_{2}\cos 2\varphi \ +[\rho ',\rho '']_{3}\cos 3\varphi +\ldots ,\end{aligned}}$

où $(\rho ',\rho ''),(\rho ',\rho '')_{1},\ldots ,[\rho ',\rho ''],[\rho ',\rho '']_{1},\ldots$ sont des fonctions de $\rho ',\,\rho ''$ exprimées en séries ou par des intégrales définies, dans lesquelles les quantités $\rho '$ et $\rho ''$ entrent de la même manière et forment des fonctions homogènes des dimensions $-1$ ou $-3.$

Ainsi, en faisant

$\varphi =\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} ,$

on aura

${\begin{aligned}{\frac {1}{\rho ''_{_{'}}}}=&(\rho ',\rho '')+(\rho ',\rho '')_{1}\cos \varphi +(\rho ',\rho '')_{2}\cos 2\varphi +\ldots \\&+\rho '\rho ''\left([\rho ',\rho '']+[\rho ',\rho '']_{1}\cos \varphi +[\rho ',\rho '']_{2}\cos 2\varphi +\ldots \right)\\&\qquad \times \left[\cos(\varphi +2\Phi ''+2\mathrm {K} )-\cos \varphi \right]\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}},\end{aligned}}$

où il faudra faire (art. 21 et 22)

${\begin{aligned}\rho '\ \ =&a'\ \left(1-e'\,\cos u'\ +{\frac {e'^{2}}{2}}\ -{\frac {e'^{2}}{2}}\cos 2u'\,\right),\\\rho ''\ =&a''\left(1-e''\cos u''+{\frac {e''^{2}}{2}}-{\frac {e''^{2}}{2}}\cos 2u''\right),\\\Phi '\ =&u'\ +2e'\sin u'\ +{\frac {5e'^{2}}{4}}\sin 2u',\\\Phi ''=&u''+2e''\sin u''+{\frac {5e''^{2}}{4}}\sin 2u'',\end{aligned}}$

et, par conséquent,

$\varphi =u'-u''-\mathrm {L} +2(e'\sin u'-e''\sin e'')+{\frac {3}{4}}\left(e'^{2}\sin 2u'-e''^{2}\sin 2u''\right),$

$\mathrm {L}$ étant égal à $\mathrm {H+K} .$

Comme nous négligeons les quantités au-dessus du second ordre dans les termes multipliés par $\sin ^{2}{\frac {\mathrm {I} }{2}},$ on pourra mettre tout de suite $a'$