Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/13

5

SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

4. Supposons que le corps $\mathrm {m}$ soit attiré vers un centre fixe par une force $\mathrm {R}$ fonction de la distance $r$ du corps au centre, on aura simplement

$\mathrm {V} =\int \mathrm {R} dr.$

Prenons la distance $r$ pour l’une des coordonnées du corps, et prenons, pour les deux autres, l’angle $\psi$ que le rayon vecteur $r$ fait avec le plan des $xy$ et l’angle $\varphi$ que la projection de $r$ sur ce plan fait avec l’axe des $x\,;$ en plaçant l’origine des coordonnées rectangles $x,\,y,\,z$ dans le centre des rayons $r,$ de manière que l’on ait

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},$

on trouve facilement

$x=r\cos \psi \cos \varphi ,\quad y=r\cos \psi \sin \varphi ,\quad z=r\sin \psi ,$

et de là

$\mathrm {T} ={\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)+dr^{2}}{2dt^{2}}},\quad \mathrm {V} =\int \mathrm {R} dr.$

On aura donc ces trois équations différentielles relatives à $r,\,\psi ,\,\varphi$

${\begin{aligned}d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta dr}}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta r}}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta r}}=&0,\\d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }}=&0,\\d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \varphi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }}=&0,\end{aligned}}$

lesquelles deviennent

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {r\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)}{dt^{2}}}+\mathrm {R} =0,\\&d{\frac {r^{2}d\psi }{dt^{2}}}+{\frac {r^{2}\sin \psi \cos \psi d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}=0,\\&d{\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi }{dt}}=0,\end{aligned}}$

et l’équation

$\mathrm {T+V=H}$