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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
dans la quantité
et que ces variables n’entrent point dans
sous la forme finie, on aura, relativement à ces mêmes variables, les équations
![{\displaystyle d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dx}}=0,\qquad d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dy}}=0,\qquad d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79f76bbf7830bf30f8e60883096ca00eafa223b6)
ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dx}}=\alpha ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dy}}=\beta ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dz}}=\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa6b163754653e41591f0c0a7af25ecdcd66ee25)
étant des constantes arbitraires.
Ainsi, on aura les trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathrm {m+m'+m''} +\ldots \right){\frac {dx}{dt}}+\mathrm {m} '{\frac {d\xi '}{dt}}+\mathrm {m} ''{\frac {d\xi ''}{dt}}+\ldots =\alpha ,\\\left(\mathrm {m+m'+m''} +\ldots \right){\frac {dy}{dt}}+\mathrm {m} '{\frac {d\eta '}{dt}}+\mathrm {m} ''{\frac {d\eta ''}{dt}}+\ldots =\beta ,\\\left(\mathrm {m+m'+m''} +\ldots \right){\frac {dz}{dt}}+\mathrm {m} '{\frac {d\zeta '}{dt}}+\mathrm {m} ''{\frac {d\zeta ''}{dt}}+\ldots =\gamma ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97146aa6c423a3be5d890a2efce85f8156558a7e)
les quantités
étant des constantes.
Si maintenant on substitue dans l’expression précédente de
les valeurs de
tirées de ces équations, et qu’on fasse, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} =&m'\xi '+m''\xi ''+m'''\xi '''\,+\ldots ,\\\mathrm {Y} =&m'\eta '+m''\eta ''+m'''\eta '''+\ldots ,\\\mathrm {Z} =&m'\zeta '+m''\zeta ''\,+m'''\zeta '''+\ldots ,\\\mathrm {M} =&\mathrm {m+m'+m''+m'''} +\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d97689b8979893a0bfff3f20a00f58ed1f61828)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} =&{\frac {\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}{2\mathrm {M} }}-{\frac {d\mathrm {X} ^{2}+d\mathrm {Y} ^{2}+d\mathrm {Z} ^{2}}{2\mathrm {M} dt^{2}}}\\&+m'{\frac {d\xi '^{2}+d\eta '^{2}+d\zeta '^{2}}{2dt^{2}}}+m''{\frac {d\xi ''^{2}+d\eta ''^{2}+d\zeta ''^{2}}{2dt^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2ab04c3bbf42b4f876efee41f63ef92bb2fcfb)
88. Les variables
étant indépendantes, et la quantité
ne contenant point ces variables sous la forme finie, on aura