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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
§ I. — Équations générales pour le mouvement relatif des corps
qui s’attirent mutuellement.
87. Supposons qu’on demande les mouvements relatifs des corps
par rapport au corps
désignons par
les coordonnées rectangles du corps
rapporté au corps
en prenant ce dernier corps pour l’origine des coordonnées ; soient de même
les coordonnées rectangles du corps
par rapport au même corps
et ainsi de suite ; la question consistera à trouver une formule générale qui ne contienne que ces coordonnées.
Il est d’abord évident qu’on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x'\ =&x+\xi ',&y'\ =&y+\eta ',&z'\ =&z+\zeta ',\\x''=&x+\xi '',\qquad &y''=&y+\eta '',\qquad &z''=&z+\zeta '',\\\ldots \ldots &\ldots \ldots ,&\ldots \ldots &\ldots \ldots ,&\ldots \ldots &\ldots \ldots \,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7a614f4a1a623423c4cbcc26fc8e1eaae955c7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho '\ \ =&{\sqrt {\xi '^{2}\ +\eta '^{2}\ +\zeta '^{2}}},\\\rho ''\ =&{\sqrt {\xi ''^{2}+\eta ''^{2}+\zeta ''^{2}}},\\\ldots \ldots &..\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\rho ''_{_{'}}\ =&{\sqrt {(\xi ''\,-\xi ')^{2}\,+(\eta ''\,-\eta ')^{2}\ +(\zeta ''\,-\zeta ')^{2}}},\\\rho '''_{_{'}}=&{\sqrt {(\xi '''-\xi ')^{2}\,+(\eta '''-\eta ')^{2}\,+(\zeta '''-\zeta ')^{2}}},\\\ldots \ldots &..\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\rho '''_{_{''}}=&{\sqrt {(\xi '''-\xi '')^{2}+(\eta '''-\eta '')^{2}+(\zeta '''-\zeta '')^{2}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc23a6d0cdf3d25d1adcb27dc8a6fcea9a3c4cc)
et la quantité
deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} =&(\mathrm {m+m'+m''} +\ldots ){\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}\\&+{\frac {\begin{aligned}dx(\mathrm {m} 'd\xi '+\mathrm {m} ''d\xi ''+\ldots )&+dy(\mathrm {m} 'd\eta '+\mathrm {m} ''d\eta ''+\ldots )\\&+dz(\mathrm {m} 'd\zeta '+\mathrm {m} ''d\zeta ''+\ldots )+\ldots \end{aligned}}{dt^{2}}}\\&+\mathrm {m} '{\frac {d\xi '^{2}+d\eta '^{2}+d\zeta '^{2}}{2dt^{2}}}+\mathrm {m} ''{\frac {d\xi ''^{2}+d\eta ''^{2}+d\zeta ''^{2}}{2dt^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ede1b438bf01aad02bbbacdd0608d9b1c9f856)
Comme les variables
après ces substitutions, n’entrent plus