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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
et si de cette dernière on retranche la première, multipliée par
et qu’ensuite on divise les numérateurs et les dénominateurs respectivement par
on aura
![{\displaystyle dt={\frac {(s+h)ds}{4{\sqrt {\mathrm {g} }}{\sqrt {s+h-{\dfrac {(s+h)^{2}}{2a}}}}}}-{\frac {(u+h)du}{4{\sqrt {\mathrm {g} }}{\sqrt {u+h-{\dfrac {(u+h)^{2}}{2a}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe82a8714db3ab12b15550ad552cc472d1687eb)
expression qui a l’avantage de ne contenir d’autre élément que le grand axe ![{\displaystyle 2a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd0574708c5edf71b13d95fb0ef56149864059b5)
85. Si l’on fait
![{\displaystyle \int {\frac {zdz}{\sqrt {z-{\dfrac {z^{2}}{2a}}}}}=f(z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b1dadc9c655352bcc54814260bf5cda4a444ef)
l’intégrale étant prise de manière qu’elle commence lorsque
a une valeur quelconque donnée, et qu’on remette pour
et
leurs valeurs
on aura, en intégrant,
![{\displaystyle 4t{\sqrt {\mathrm {g} }}=f(h+p+q)-f(h+p-q),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ebe25059fe3fff392767ed92989d9519a237d82)
où l’on voit que
lorsque
de quelque manière que l’intégrale soit prise.
Or, puisque
est le rayon vecteur qui part du foyer,
est le rayon qui part de l’autre centre, qui est pris dans un point de l’ellipse, et dont la distance au foyer est
il est clair que
et
seront deux rayons vecteurs, et que
sera la corde de l’arc intercepté entre ces deux rayons ; par conséquent, l’expression précédente de
sera le temps employé par le mobile à décrire cet arc dans l’ellipse, lequel sera donné ainsi par la somme des rayons vecteurs
par la corde
et par le grand axe
L’intégrale que nous avons désignée par fonction
dépend des arcs de cercle ou des logarithmes, suivant que
est positif ou négatif ; mais, lorsque l’axe
est très grand, cette fonction se réduit à une série très convergente : on a alors
![{\displaystyle f(z)={\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {z^{\frac {5}{2}}}{5.2a}}+{\frac {3z^{\frac {7}{2}}}{4.7.4a^{2}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/160fd33ead66d98ac854831fc1234698c21f2cfe)