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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

$f$ étant une constante, et $\omega$ une quantité infiniment petite, et désignant par $\mathrm {F}$ ce que devient $\mathrm {S}$ lorsqu’on change $s$ en $f,$ le membre ${\frac {ds}{\sqrt {\mathrm {S} }}}$ deviendra

${\frac {d\omega }{\sqrt {\mathrm {F} +{\cfrac {d\mathrm {F} }{df}}\omega +{\cfrac {d^{2}\mathrm {F} }{2df^{2}}}\omega ^{2}+\ldots }}}\,;$

il faudra donc, pour qu’il y ait le même nombre de dimensions de $\omega$ en haut et en bas, que l’on ait

$\mathrm {F} =0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {d\mathrm {F} }{df}}=0\,;$

alors, à cause de $\omega$ infiniment petit, la différentielle dont il s’agit se réduira à

${\frac {d\omega }{\omega {\sqrt {\dfrac {d^{2}\mathrm {F} }{2df^{2}}}}}},$

dont l’intégrale est

${\frac {1}{\sqrt {\dfrac {d^{2}\mathrm {F} }{2df^{2}}}}}\log {\frac {\omega }{k}},$

$k$ étant une constante arbitraire. Si donc on fait $\omega =0,$ et qu’on prenne en même temps aussi $k=0,$ la valeur de $\log {\frac {\omega }{k}}$ deviendra indéterminée, et l’équation pourra toujours subsister, quelque valeur que puisse avoir l’autre membre $\int {\frac {du}{\sqrt {\mathrm {U} }}}.$ Or on sait, et il est visible par soi-même, que

$\mathrm {F} =0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {d\mathrm {F} }{df}}=0$

sont les conditions qui rendent $f$ une racine double de l’équation $\mathrm {F} =0.$ D’où^[1] il suit, en général, que, si le polynôme $\mathrm {S}$ a une ou plu-

1. Dans sa Thèse présentée à la Faculté des Sciences de Paris, M. Serret a signalé la démonstration précédente comme peu rigoureuse ; il semble incontestable, en effet, que quelques développements sont nécessaires pour la rendre entièrement satisfaisante. (Voir une Note à la fin du Volume.) (J. Bertrand.)