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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
distances. Dans ce cas donc, on aurait
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {\alpha }{r^{2}}}+2\gamma r,\qquad \mathrm {Q} ={\frac {\beta }{q^{2}}}+2\gamma q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e061bc6753f10e92e622121cd53f2201117540)
et l’on trouverait que l’intégrale (b) aurait aussi lieu dans ce cas ; seulement, il faudrait ajouter à son premier membre les termes
![{\displaystyle \gamma \left[5r^{2}q^{2}+{\frac {3}{2}}\left(r^{4}+q^{4}\right)-h^{2}\left(r^{2}+q^{2}\right)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047b628db062dca58d619ce028335b013084a92e)
ensuite il y aurait à ajouter au premier membre de l’équation
les termes
![{\displaystyle {\frac {\gamma }{2}}\left[r^{6}+q^{6}+15r^{2}q^{2}\left(r^{2}+q^{2}\right)-h^{2}\left(r^{4}+q^{4}+6r^{2}q^{2}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50f02d4eecbafc131cc57c661bbb821eaab4ef0d)
et, par conséquent, au premier membre de l’équation
les termes
![{\displaystyle {\frac {\gamma }{4}}\left[(r\pm q)^{6}-h^{2}(r\pm q)^{4}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cc8f6862609971bc0425c2c74679c58adccd4a1)
de sorte qu’il n’y aura qu’à augmenter les polynômes en
et
sous le signe, dans les équations
des termes respectifs
![{\displaystyle -{\frac {\gamma }{4}}\left(s^{6}-h^{2}s^{4}\right)\qquad {\text{et}}\qquad -{\frac {\gamma }{4}}\left(u^{6}-h^{2}u^{4}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d3a6a3a30c90af758a6758cad6cae2a092db9b)
ce qui ne rend guère la solution plus compliquée.
83. Quoiqu’il soit impossible d’intégrer en général l’équation trouvée
entre
et
et d’avoir, par conséquent, une relation finie entre ces deux variables, on peut néanmoins en avoir deux intégrales particulières représentées par
const et
const.
En effet, si l’on représente en général cette équation par
![{\displaystyle {\frac {ds}{\sqrt {\mathrm {S} }}}={\frac {du}{\sqrt {\mathrm {U} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165717ec982cbd89d430e4b27a21a34bc21d747c)
il est clair qu’elle aura aussi lieu en faisant
ou
nuls, pourvu que les dénominateurs
ou
soient aussi nuls en même temps, et du même ordre.
Pour déterminer les conditions nécessaires dans ce cas, on fera
![{\displaystyle s=f+\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13eaa9005961163e2ac5a8ae3fcd23e35e336db4)